Лекция 5. Развёртка многогранника

Развёртка многогранника

Поверхность рассматривается как тонкая, нерастяжимая плёнка.

Развёртыванием поверхности называют совмещение поверхности с плоскостью при помощи изгибания без растяжения и сжатия.

Поверхность при этом рассматривают как гибкую нерастяжимую плёнку. Если поверхность можно совместить с плоскостью без складок и разрывов её называют развёртывающейся, если это невозможно – поверхность неразвёртывающаяся.

К группе развёртывающихся поверхностей относятся только линейчатые поверхности (цилиндрическая, коническая, поверхность с ребром возврата).

Цель развёртывания поверхностей – создание моделей из листового материала.

Для многогранников, которые ограничены плоскими поверхностями, можно получить точную развёртку.

В производстве применяют развёртки для кожухов, для вентиляционных труб различного сечения и т.д.

Существуют несколько способов построения развёрток. Мы рассматриваем способ треугольников (триангуляции) - от лат. triangulum – остальные – в конце курса «Н.Г.»

Способ треугольников известен из школьного курса геометрии как построение треугольника по трём известным сторонам.

Развёртка боковой поверхности пирамиды состоит из треугольников, для построения которых необходимо иметь на чертеже их натуральные величины.

В РГР1 вам будет предложено не только построить сечение пирамиды плоскостью, но и развёртку усеченной пирамиды, выполнить её в масштабе 2:1 и склеить модель.

Мы выполним всю последовательность действий до построения развёртки пирамиды.

Задача. Построить развёртку усечённой части пирамиды SABC (см. чертёж).

План решения:

1. Построить фигуру сечения пирамиды плоскостью.

2. Построить натуральную величину фигуры сечения.

3. Построить натуральные величины рёбер пирамиды.

4. Построить развёртку боковой поверхности и достроить верхнее и нижнее основания.

Поверхности

Мир поверхностей разнообразен и безграничен: от самой простой из них(плоскости) до сложнейших криволинейных поверхностей, не поддающихся точному математическому описанию. Кривые поверхности используют в технике, науке, архитектуре, изобразительном искусстве и т.д.

В начертательной геометрии поверхность рассматривают как совокупность последовательных положений движущейся в пространстве линии, т.е. принимают кинематический способ образования поверхности.

Поверхности могут быть заданы:
1. Аналитическим уравнением: F(x, y, z) = 0.

2. Каркасом.

3. Определителем.

4. Очерком.

2. Каркасные поверхности – упорядоченное множество точек или линий, принадлежащих поверхности, связанных между собой определенной зависимостью. В качестве линий, образующих каркас, как правило, берут семейство линий, получающихся при пересечении поверхности параллельными плоскостями.

Этот способ задания используют в самолетостроении, автостроении и судостроении, топографии и т.д.

Определитель поверхности.

С позиции кинематического способа образования поверхность рассматривают как множество всех положений движущейся линии.

Движущаяся линия называется образующей. Образующая может быть неизменной, но может и менять форму.

Закон перемещения образующей вообще может быть задан аналитически, но в начертательной геометрии его задают графически. Подвижная линия – образующая перемещается по неподвижным линиям, которые называют направляющими.

а – образующая

m, n – направляющие

Определителем поверхности называют совокупность условий, однозначно определяющих поверхность.

Поверхность может быть образована разными способами и иметь разные определители. Из них выбирают наиболее простой.

В определителе поверхности различают геометрическую часть и алгоритмическую,

Ф (Г) [A],

где Ф – поверхность

(Г) – геометрическая часть (геометрические фигуры, участвующие в

образовании поверхности)

[A] – алгоритмическая часть (алгоритм формирования поверхности)

Примеры определителей:

Поверхность прямого кругового цилиндра можно рассматривать как след, оставляемый в пространстве:

- прямой a при её вращении вокруг оси m.

- кривой b при вращении вокруг оси m.

- окружности c при перемещении её центра вдоль оси m.

Задание поверхности каркасом или определителем не всегда обеспечивает наглядность, иногда целесообразно задать ее очерком.

Очеркповерхности- проекция проецирующей цилиндрической поверхности, огибающей заданную поверхность.

Классификация поверхностей.

Класс 1 – нелинейчатые поверхности, образующие которых – кривые линии.

Класс 2 – линейчатые поверхности, (образующие – прямые линии)

Подкласс 1 – поверхности параллельного переноса (образующая перемещается поступательно)

Подкласс 2 – поверхности вращения

Подкласс 3 – винтовые поверхности.

Поверхности линейчатые.

1. поверхности с тремя направляющими:

а – образующая

m, n, l – направляющие

а. Косой цилиндр Ф(,)[A]

[A] – [{} ]

б. Дважды косой цилиндроид Ф(, )[A]

в. Дважды косой коноид Ф()

г. Однополостный гиперболоид Ф( )

m, n, l – скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости

Пример: найти недостающие проекции точек А и В, принадлежащих поверхности однополостного гиперболоида

Дата добавления: 2014-01-20