Метод установления для уравнения эллиптического типа. Единственность решения

Пусть в некоторой области Ѕ необходимо решить первую краевую задачу для уравнения Пуассона: На ряду с ней рассмотрим эволюционную задачу:где g(M) – произвольная функция, удовлетворяющая краевым условиям задачи (1). Покажем, что при асимптотически, то есть рассмотрим задачу: где - произвольная функция, удовлетворяющая задачи Коши. Будет показано, что решение задачи (3) представимо в виде: где - коэффициенты Фурье, а и - решение следующей задачи Штурма-Лиувилля:Причем - образуют полную ортогональную систему функций, которую можно нормировать так, что будет выполняться равенство:Из свойств собственных функций и собственных чисел можно построить сумму: Из теории рядов Фурье известно, что , тогда устремляя в последнем неравенстве , получаем:

Стремление быстрое, так как в оценке существует экспонента, поэтому уже при малых временах решение получается с хорошей точностью.

Дата добавления: 2014-01-20