Теорема

Пусть – дважды непрерывно дифференцируемая функция в некоторой окрестности точки .

Тогда для наличия в точке локального максимума (минимума) необходимо, чтобы

1) и

2)

и достаточно (даже для строгого экстремума), чтобы

1) и

2)

Замечания:

1. Каждое из условий и по отдельности, а также оба вместе, являются необходимыми, в то время как только совокупность условий и является достаточным условием. Условие называется необходимым условием I порядка, поскольку функция аппроксимируется многочленом первой степени из разложения Тейлора, условие – необходимым условием II порядка, поскольку функция аппроксимируется многочленом второй степени из разложения Тейлора.

2. Условие означает, что касательная гиперплоскость к графику функции в точке горизонтальна. Условие означает, что в некоторой окрестности точки график функции лежит ниже (выше) касательной гиперплоскости.

3. Выполнение условий – еще не означает наличия нестрогого максимума (минимума) – см. пример: .

4. Невыполнение условия (при выполнении условий – еще не означает отсутствия строгого экстремума – см. пример: .

5. Из условий теоремы видно, что достаточные условия весьма близки к необходимым: они отличаются только строгостью неравенства. Это означает, что данная теорема "почти всегда" дает окончательный ответ о наличии или отсутствии экстремума в рассматриваемой точке. Она не дает ответа лишь в одном случае: если неравенство выполняется существенно как нестрогое, т.е. когдаи существует ненулевой вектор такой, что . Последнее означает, что матрица Гессе квазиопределена.

6. Условие означает неотрицательную (неположительную) определенность матрицы Гессе. Условие означает положительную (отрицательную) определенность матрицы Гессе. Знакоопределенность матрицы Гессе можно установить, пользуясь критерием Сильвестра.

7. Из теоремы вытекает, что если градиент целевой функции равен нулю и ее матрица Гессе отрицательно определена, то имеет место локальный максимум, если положительно определена, – локальный минимум, если не определена (квадратичная форма от дифференциалов знакопеременна), то экстремума нет, если квазиопределена, то ничего сказать нельзя.

8. Из доказательства теоремы видно, что в случае квазиопределенности матрицы Гессе (естественно, при ) вопрос о наличии или отсутствии экстремума зависит от поведения остаточного члена, т.е. от членов разложения более высокого порядка. Если же остаточный член тождественно равен нулю (а это справедливо для многочленов второй степени), то в случае положительной квазиопределенности будем иметь минимум, а в случае отрицательной – максимум (нестрогие). Таким образом, для многочленов второй степени условия – являются необходимыми и достаточными.

Дата добавления: 2014-01-20