Дифференциальные уравнения второго порядка

Однородные уравнения

Однородным называется уравнение вида

(2.8)

Это уравнение при введении новой переменной сводится к уравнению с разделяющимися переменными. Итак: .

Тогда перепишем (2.8)

(2.9)

это уравнение с разделяющимися переменными:

.

Дифференциальные уравнения второго порядка имеют вид:

(3.1)

или (3.2)

Общим решением уравнения (3.2) называется функция

, (3.3)

содержащая две произвольные постоянные .

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (3.1), удовлетворяющее условиям: при .

Постоянные определяется из системы уравнений

(3.4)

Ниже рассматриваются простейшие типы интегрируемых уравнений второго порядка и случаи понижения порядка дифференциальных уравнений.

К простейшим типам интегрируемых уравнений 2-го порядка относятся уравнения, порядок которых может быть понижен с помощью каких-либо приемов. Рассмотрим 3 типа таких уравнений.

Функция, стоящая в правой части уравнения (3.2):

а) зависит только от х

(3.5)

тогда общее решение уравнения (3.5) находится путем двукратного интегрирования,

(3.6)

б) не содержит у

(3.7)

уравнение (3.7) интегрируется с помощью введения новой функции . Тогда и уравнение (3.7) имеет вид , т.е. уравнение 1-го порядка относительно z.

в) не содержит х

(3.8)

уравнение (3.8) интегрируется подстановкой (введением новой независимой переменной у вместо х), которая дает возможность свести ее к уравнению с разделяющимися переменными. Тогда

(3.9)

Дата добавления: 2014-01-20