Линейные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида

(4.1)

Если , то уравнение (4.1) называется однородным дифференциальным уравнением 2-го порядка с постоянными коэффициентами

(4.2)

Уравнение

(4.3)

называется характеристическим уравнением для уравнения (4.2).

В зависимости от корней и характеристического уравнения (4.3) получаем общее решение уравнения (4.2):

1. и - различные действительные числа

(4.4)

2. = =k

(4.5)

3. если действительных корней нет, то

(4.6)

где .

Если , то уравнение (4.1) называется неоднородным дифференциальным уравнение с постоянными коэффициентами.

Общее решение уравнения (4.1) находится по формуле:

(4.7)

где - общее решение соответствующего однородного уравнения (4.2), а - частное решение уравнения (4.1).

Пусть имеет следующие два вида:

А) , α – постоянное число, - многочлен степени n.

В этом случае частное решение уравнения (4.1) в зависимости от значений числа α ищется в виде:

1. Если , где - корни характеристического уравнения, то

(4.8)

2. Если либо , то

(4.9)

3. Если , то

(4.10)

где - многочлен степени n с неопределенными коэффициентами.

Б) , α, β – постоянные числа, и - многочлены степени n и m. Пусть , тогда

1. Если и , то

(4.11)

2. Если и , то

(4.12)

здесь , - многочлены степени r с неопределенными коэффициентами.

Дата добавления: 2014-01-20