Л8. Фигура Земли. Геоид, земной сфероид, референц-эллипсоид

Л7. РЕШЕНИЕ НАВИГАЦИОННОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Л6. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКИХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Л5. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ СФЕРИЧЕСКОЙ ТРИГОНОМЕТРИИ

Решением СфТ называется нахождение трех неизвестных его элементов по трем заданным. В задачах судовождения обычно отыскивается один из элементов по трем известным. Для этого используются основные формулы (теоремы) сферической тригонометрии, выведенные разными учеными еще в Х веке нашей эры. К этим формулам относятся формулы косинуса стороны, косинуса угла, синусов и котангенсов или формула четырех рядом лежащих элементов. Есть формула и пяти элементов, но она имеет вспомогательный характер.

Формула косинуса стороны является

Формула косинуса угла:

Из формул (2) можно получить

Формулы (3)

Формула синусов:

Формула котангенсов (рис. 8):

Рис. 8. Обозначение элементов сферического треугольника

(6)

ctg B * sin A = ctg b * sin c – cos c * cos A (7)

ctg B = ctg b * sin c * cosec A – cos c * ctg A. (8)

Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов

№	Л	Рекомендации
		Выучить формулы косинуса стороны, косинуса угла, синуса угла, котангенса угла (1-8)

Аналогии Непера. При выводе формул сферического схождения меридианов используются формулы, позволяющие найти два угла по двум противолежащим им сторонам и углу между ними (называемые аналогиями Непера):

Решая оба уравнения (9) как систему с двумя неизвестными А и В, находят углы.

Формулы синусов половинных углов и сторон используются

Рис. 9. Прямоугольный сферический треугольник

(10)

(11)

(12)

(13)

Формулы Модюи-Непера для прямоугольных СфТ. В прямоугольном СфТ

(14)

(15)

– правило I:

– правило II:

– условие I:

– условие II:

Формулы для решения элементарных прямоугольных СфТ. Это

Рис. 10. Элементарный прямоугольный сферический треугольник

Если три стороны элементарного СфТ малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он определен, то такой треугольник называют малым и решают по формулам плоской тригонометрии. На земной поверхности малыми считают треугольники со сторонами до 200 километров.

Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов

№	Л	Рекомендации
		Выучить формулы синуса половинного угла (10-13)
		Выучить правила решения прямоугольных СфТ (14-15)
		Изучить объяснения [1, с._].

Рис. 11. Навигационный треугольник

(16)

(17)

(18)

(19)

Рис. 12. Знаки тригонометрических функций

Таблица

Распределение знаков в формуле	Вспомогательный логарифм	Четверть искомой величины

Табл. 2. Правила нахождения четверти для искомой величины

Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов

№	Л	Рекомендации
		Изучить объяснения [1, с._]. нов

Земля имеет сложную поверхность. В навигации землю часто принимают за сферу. При создании МНК₂ необходимо знать фигуру поверхности Земли более точно. Требуется также эту фигуру описать математическими зависимостями (формулами) для пересчёта реальных координат объектов на Земле в координаты объектов на плоскости – карте.

Опр. 8.1. Развёртывание одной поверхности (Земли) на другую поверхность (карту) – это процедура, при которой пересчитываются координаты объектов при сохранении всех элементов внутренней геометрии первой поверхности – углов, площадей, свойства кратчайших линий оставаться кратчайшими (ортодромичность) и Гауссовой кривизны.

Опр. 8.2.Гауссова кривизна –

, где (20)

R1 и R2 – главные радиусы кривизны в данной точке рассматриваемой поверхности.

Опр. 8.3.Нормальные и главные сечения. В любой точке любой поверхности можно провести бесчисленное множество перпендикулярных сечений, которые называют нормальными (они проводятся по нормали к поверхности).

Радиусы кривизны всех этих сечений в общем случае будут разными, но среди них всегда будет сечение с самым большим и сечение с самым маленьким радиусами кривизны. Эти сечения и их радиусы кривизны называют главными.

У плоскости радиус любого сечения равен ∞, поэтому главными радиусы кривизны для плоскости равны ∞ и Гауссова кривизна для плоскости (для карты) k_пл = 1/∞*1/∞=1/∞=0.

Для сферы (шара) все радиусы кривизны, в т.ч. и главные, равны R – радиусу сферы, k_ш = 1/R².

Для цилиндра и конуса радиусы всех нормальных сечений разные.

Главными нормальными сечениями будут (рис. 13):

– одно сечение вдоль цилиндра, которое даст на поверхности цилиндра (конуса) прямую линию с радиусом кривизны, равным ∞;

– второе сечение – поперёк, которое даст на поверхности цилиндра окружность с радиусом R.

Поэтому:

=0, где (21)

Рис. 13. Главные радиусы кривизны цилиндра

У сфероида (рис. 14) главными нормальными сечениями будут:

– меридиальное сечение в точке С – эллипс QC’Q’ с радиусом кривизны M, который является наименьшим;

– нормальное сечение (сечение первого вертикала) в точке С – эллипс CBA с радиусом кривизны N, который является наибольшим.

Следовательно, для сфероида:

(22)

Из рис. 14 видно, что с изменением широты точки С (ось φ) главные радиусы кривизны изменяются. Они одинаковы только на полюсах.

Т.к. Гауссова кривизна у сфероида и шара не равна таковой для плоскости, то при их развёртывании на плоскость неизбежны искажения элементов внутренней геометрии:

– если сохранить угды, то кратчайшие линии не будут прямыми (не сохранится ортодромичность) и масштаб площадей не будет постоянным;

– если сохранить масштаб постоянным, то исказятся углы и нарушится ортодромичность;

– если сохранить ортодромичность, то исказятся углы и будет непостоянство масштаба площадей.

Рис. 14. Главные радиусы кривизны сфероида

Поэтому, чтобы учитывать и расчитывать все эти искажения прежде всего необходимо математическое описание фигуры Земли, а также математические зависимости для перенесения координат реальных объектов на плоскость, т.е., на карту.

В первом приближении фигура Земли является геоидом.

Опр. 8.4.Геоид – фигура, которую образовывает невозмущённая поверхность Мирового океана, если её мысленно продлить под всеми материками и островами.

В каждой точке такой поверхности отвесная линия перпендикулярна к ней. Однако в реальности это не так в силу неравномерности распределения масс внутри Земли. Т.е., реальная поверхность геоида отклоняется вверх и вниз от своего невозмущённого положения под действием силы тяжести.

Эти отклонения начали измерять со времён Ньютона, и их измерения продолжаютмя до сих пор. С учётом результатов таких измерений было установлено, что для практических целей картографии земную поверхность можно принять за поверхность эллипсоида вращения, который назвали общим земным эллипсоидом.

Т.к. приплюснутость этого эллипсоида невелика, то он мало отличается от сферы и поэтому его ещё называют сфероидом.

Однако для создания точных карт необходимо учесть упомянутые отклонения силы тяжести. Поэтому точная фигура Земли устанавливается с учётом многочисленных измерений. Накопление данных осуществляется в проекте «Стандартная Земля».

Опр. 8.5. В зависимости от объёма измерений на своих территориях и прилигающих акваториях разные страны разрабатывают разные фигуры земной поверхности. Такие эллипсоиды назвали референц-эллипсоидами (РЭ).

Они удовлетворяют следующим основным требованиям:

– их центр совпадает с центром тяжести Земли;

– плоскость их экватора совпадает с плоскостью земного экватора;

– сумма квадратов отклонений по высоте поверхности РЭ от поверхности геоида является наименьшей из возможных.

Каждый РЭ определённым образом ориентируется в теле Земли, и тогда на него проецируются все геодезические пункты данной страны и расчитываются их координаты, а по ним – координаты любых других пунктов.

Группа учёных под руководством Ф. Н. Красовского в 30 годы ХХ века обработала все имеющиеся измерения силы тяжести в СССР, в странах Западной Европы и в США, что позволило расчитать форму земного эллипсоида (эллипсоид Красовского).

Этот эллипсоид принят в нашей стране в качестве РЭ, ориентирован по координатам Пулковской обсерватории.

В центре зала обсерватории проведено совмещение поверхности этого эллипсоида с поверхностью геоида, географические координаты этой точки точно определены астрономическим методом.

Начальный азимут на поверхности этого РЭ принят равным астрономическому, измеренному на местности (на геодезический знак около пос. Бугры). При ориентировке совмещена нормаль к поверхности эллипсоида в данной точке с отвесной линией, а плоскость нормального сечения эллипсоида – с вертикальной плоскостью в этой точке.

Опр. 8.6. Система координат (исходная геодезическая дата) с началом в Пулковской обсерватории называется системой координат 1942 года.

Основные параметры земных РЭ разных стран приведены в табл. 3, где a – большая полуось, b – малая полуось, α = (a-b)/a – сжатие.

Таблица

№п.п.	Название	Год создания	a, м	α (сжатие)
	Бесселя		6377397	1/299,153
	Кларка		6378206	1/294,980
	Хейфорда	1910(1909)	6378388	1/297,000
	Индийский (Эверест)	India 1830	6377276	1/300,800
	Австралийский	- (National)	6378160	1/298,250
	Нигерийский	Clark 1880 IGN	6378249	1/293,460
	Красовского		6378245	1/298,300
	WGS-72		6378135	1/298,260
	WGS-84		6378137	1/298,257

Табл. 3. Параметры земных РЭ

Из таблицы 3 следует, что РЭ Красовского близок к современным РЭ WGS-72, -84.

МНК₂ в разных странах создаются по разным РЭ, и поэтому при переходе с карты на карту счислимое место судна надо переносить не по координатам точки, а по азимуту (пеленгу) и расстоянию до ближайшего ориентира, нанесённого на обе карты.

Дата добавления: 2014-01-20