Пример расчета фильтра Баттерворта

Расчет передаточной характеристики фильтра Баттерворта

Ранее говорилось, что для получения устойчивого и физически реализуемого фильтра необходимо, чтобы все нули и полюса располагались в левой полуплоскости комплексной плоскости. Тогда для расчета передаточной функции фильтра Баттерворта необходимо из всех полюсов выбрать только те, что лежат в левой полуплоскости. Тогда все полюса расположенные в левой полуплоскости могут быть записаны как для четного, так и для нечетного (смотри рисунок 2):

(19)

Или перепишем в тригонометрической форме:

(20)

Таким образом мы задали все полюса передаточной функции фильтра Баттерворта порядка. Тогда передаточная функция фильтра Баттерворта может быть представлена:

(21)

Обратим внимание, что все полюса передаточной функции фильтра Баттерворта четного порядка (смотри рисунок 2) представляют собой комплексно-сопряженные пары, а у фильтра нечетного порядка есть один вещественный полюс. Тогда можно представить передаточную функцию фильтра Баттерворта при помощи биквадратной формы. Для четного:

(22)

Тогда окончательно можно записать:

(23)

В случае нечетного имеем дополнительный вещественный полюс. Тогда для нечетного можно представить передаточную функцию фильтра Баттерворта при помощи биквадратной формы как:

(24)

Окончательно можно объединить выражения (23) и (24). Для любого целого (может принимать значения 0 или 1) передаточную функцию фильтра Баттерворта можно представить в виде:

(25)

Коэффициент передачи фильтра Баттерворта на нулевой частоте равен:

(26)

Для нормировки коэффициента передачи фильтра Баттерворта на нулевой частоте необходимо передаточную функцию фильтра Баттерворта (25) разделить на. Тогда получим характеристику нормированного ФНЧ Баттерворта в виде:

(27)

Необходимо отметить, что при, и без нормировки, при этом соответствует. При этом выражение для передаточной характеристики фильтра (27) преобразуется к виду:

(28)

Такая форма записи (28) передаточной характеристики получила широкое распространение ввиду того, что не требуется нормировки. Однако выражение (27) позволяет регулировать коэффициент передачи фильтра на частоте среза и является более общей.

Рассчитаем нормированный ФНЧ Баттерворта при следующих параметрах коридора АЧХ:

(29)

Шаг 1

Рассчитываем все необходимые параметры исходя из выражения (1):

(30)

Шаг 2

Рассчитываем порядок фильтра согласно выражению (4):

(31)

Округляем до ближайшего целого в большую сторону, получаем, что заданному коридору удовлетворяет.

Шаг 3

Рассчитываем передаточную характеристику согласно выражению (27).

При этом значит,. Рассчитываем

(32)

Рассчитываем значения. В нашем случае, поэтому будет только одно значение равное:

(33)

Тогда передаточную характеристику фильтра можно записать:

(34)

На этом расчет фильтра Баттерворта окончен

Комплексный коэффициент передачи полученного фильтра равен:

(35)

На рисунках 3 - 5 показаны АЧХ, ФЧХ и групповая задержка рассчитанного фильтра Баттерворта третьего порядка.

Рисунок 3: АЧХ рассчитанного фильтра Баттерворта

Рисунок 4: ФЧХ рассчитанного фильтра Баттерворта

Рисунок 5: Групповая задержка рассчитанного фильтра Баттерв орта

На графике АЧХ (рисунок 3) серым отмечен заданный коридор АЧХ. Обратите внимание, что по оси абсцисс частота представлена в логарифмическом масштабе. Видно что полученная АЧХ помещается в коридор даже с запасом, так как при расчете использовался порядок равный 3 вместо 2.56545 (дробный порядок не может быть).

Отметим, что на практике для программной реализации функции расчета передаточной функции необходимо численно перемножать полиномы при помощи линейной свертки. Подробно данный вопрос был рассмотрен здесь.

Выводы

Таким образом, в данной статье мы рассмотрели порядок расчета передаточной функции аналогового ФНЧ Баттерворта и привели пример расчета фильтра по заданному коридору АЧХ.

Расчет аналогового эллиптического фильтра нижних частот

Содержание

Введение. Исходные данные и основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра

Порядок расчета эллиптического фильтра

Нули и полюса эллиптического фильтра

Передаточная характеристика эллиптического фильтра

Пример расчета эллиптического фильтра

Выводы

Дата добавления: 2014-01-20