Порядок расчета эллиптического фильтра Кауэра

Введение. Исходные данные и основные соотношения при аппроксимации АЧХ фильтра

В предыдущей статье мы рассмотрели основные свойства полиномов комплексной переменной и передаточной функции аналогового фильтра. Также была рассмотрена постановка задачи расчета фильтра, и проанализированы основные виды аппроксимирующих полиномов АЧХ фильтра.

В данной статье мы рассмотрим расчет нормированного эллиптического фильтра Кауэра (Золотарева-Кауэра) по заданному коридору АЧХ, показанному на рисунке 1.

Рисунок 1: Идеальная и реальная АЧХ ФНЧ

В отличии от фильтров Чебышева первого и второго рода, АЧХ эллиптических фильтров имеет равноволновые колебания как в полосе пропускания, так и в полосе заграждения.

Приведем основные соотношения связывающие параметры аппроксимации АЧХ (данные соотношения были подробно рассмотрены здесь):

(1)

Аппроксимация АЧХ нормированного ФНЧ Кауэра представляется в виде:

(2)

где - эллиптическая дробно-рациональная функция, зависящая от параметра порядка:

(3)

Все вышеприведенные соотношения уже были рассмотрены ранее. Мы привели их еще раз без пояснений, и они нам будут необходимы при рассечете фильтра Кауэра.

Порядок эллиптического фильтра можно рассчитать из уравнения:

(4)

где - полный эллиптический интеграл, а - полный комплиментарный эллиптический интеграл (подробнеездесь), а и рассчитываются согласно (1).

Итак приступим. Исходными данными для расчета эллиптического фильтра служат: частота среза, переходная полоса, задаваемая, допустимое искажение в полосе пропускания и требуемое подавление в полосе заграждения.

Первый шаг: из выражения (1) рассчитываются параметры,, и.

Второй шаг — расчет требуемого порядка фильтра согласно выражению (4).

Третий шаг пересчет параметра согласно следующему выражению:

(5)

Смысл пересчета параметра заключается в том, что при расчете порядка фильтра согласно выражению (4), мы округляем до ближайшего целого, в результате мы меняем параметры эллиптической дробно-рациональной функции. Так на рисунках 2-4 показаны АЧХ эллиптического фильтра при различном и фиксированном. Из рисунков 2-4 видно, что увеличение порядка при фиксированном приводит к изменению уровня боковых лепестков при аппроксимации АЧХ фильтра. В результате фильтр рассчитывается с большим запасом по уровню подавления сигнала в полосе заграждения.

Рисунок 2: АЧХ эллиптического фильтра при

Рисунок 3: АЧХ эллиптического фильтра при

Рисунок 4: АЧХ эллиптического фильтра при

С другой стороны, эллиптическая дробно-рациональная функция допускает изменение модуля, тем самым появляется возможность оставить уровень подавления в полосе заграждения постоянным (ни у фильтров Чебышева ни у фильтров Баттерворта подобного параметра нет). Для этого и применяют выражение (5). Так на рисунках 5-7 показаны АЧХ эллиптических фильтров различного порядка с пересчитанными согласно (5) модулями.

Рисунок 5: АЧХ эллиптического фильтра при

Рисунок 6: АЧХ эллиптического фильтра при

Рисунок 7: АЧХ эллиптического фильтра при

Видно, что все фильтры имеют одинаковый уровень боковых лепестков в полосе заграждения, но при увеличении порядка фильтра сужается переходная полоса фильтра. Таким образом, важно понять, что при округлении порядка фильтра необходимо произвести пересчет модуля для обеспечения заданного уровня боковых лепестков АЧХ фильтра.

Шаг 4. расчет передаточной функции эллиптического фильтра. Здесь как и ранее мы остановимся более подробно.

Дата добавления: 2014-01-20