Физический смысл ФЧХ и групповой задержки. Свойство линейности ФЧХ фильтра

Введение

Ранее мы рассмотрели структуры цифровых фильтров и их характеристики. Мы рассмотрели понятия амплитудно-частной (АЧХ), фазочастотной (ФЧХ) характеристик, а также понятие групповой задержки фильтра. В данной статье мы проанализируем физический смысл ФЧХ и групповой задержки. Рассмотрим свойство фильтров с линейной ФЧХ и получим условия линейности ФЧХ цифрового фильтра.

Очень часто при расчете цифровых фильтров ставится задача обеспечить постоянную групповую задержку или линейную фазочастотную характеристику (ФЧХ). В данной статье речь пойдет именно о фильтрах с линейной ФЧХ, и будут получены условия при которых цифровой фильтр будет иметь строго линейную фазочастотную характеристику.

Если фильтр задан импульсной характеристикой, где, то его комплексный коэффициент передачи равен:

(1)

Также вводят понятие групповой задержки как производной от ФЧХ:

(2)

Смысл групповой задержки можно пояснить следующим образом. Отклик физически реализуемого фильтра всегда возникает не раньше воздействия, при этом фильтр задерживает входной сигнал при фильтрации на некоторое время. При этом если подавать на фильтр сигналы разной частоты, то сигнал на выходе одного и того же фильтра могут быть задержаны на разное время. Эта задержка выражается в сдвиге фазы сигнала на выходе относительно сигнала на входе. Групповая задержка при этом характеризует изменение временного сдвига сигнала, который получается в результате фазового сдвига. Проиллюстрируем это рисунком 1.

Рисунок 1: Взаимосвязь фазового и временного сдвига сигнала

Пусть на вход некоторого фильтра подается сигнал, причем ФЧХ фильтра на частоте сигнала равна. Тогда сигнал на выходе будет сдвинут относительно входного на, как это показано на графике. При этом этот сдвиг фазы соответствует временному сдвигу. Соответственно на некоторой другой частоте временной сдвиг будет, а изменение этого временного сдвига будет зависеть от изменения ФЧХ от частоты, т.е.. Это и определяет групповая задержка: изменение временного сдвига при изменении частоты.

Если ФЧХ линейна, то групповая задержка постоянна, т.е. при изменении частоты сигнала она не меняется.

При нелинейной ФЧХ разные частоты приобретают разные фазовые сдвиги и соответственно разные временные задержки на выходе фильтра. Чтобы понять это проведем следующий эксперимент.

Пусть имеется сигнал, у которого во времени меняется мгновенная частота. В качестве такого можно взять сигнал с фазовой модуляцией (PM) вида:

(3)

Пропустим данный сигнал через фильтр с постоянной групповой задержкой (линейной ФЧХ) и через фильтр с нелинейной ФЧХ, т.е. непостоянной задержкой. Причем параметры АЧХ фильтров с линейной и нелинейной ФЧХ выберем таким образом, чтобы фильтры не вносили амплитудных искажений в амплитудный спектр сигнала. Это наглядно показано на рисунках 2 и 3. При этом на рисунках 3 и 4 показаны осциллограммы исходного PM сигнала (красный график) и сигналов на выходе фильтров с линейной и нелинейной ФЧХ (синий график) при компенсации постоянной задержки в фильтре.

Рисунок 2: Фильтрация PM сигнала при помощи фильтра с линейной ФЧХ	Рисунок 3: Фильтрация PM сигнала при помощи фильтра с нелинейной ФЧХ
Рисунок 4: PM cигнал на выходе фильтра с линейной ФЧХ при компенсации задержки	Рисунок 5: PM cигнал на выходе фильтра с нелинейной ФЧХ при компенсации задержки

Из рисунка 4 следует, что сигнал на выходе фильтра полностью повторяет сигнал на входе (разумеется небольшие амплитудные искажения есть из-за неидеальности фильтра, но для нас самое главное, что фаза исходного сигнала и выходного сигнала совпадают). При этом выходной сигнал был сдвинут по оси времени для устранения постоянной задержки фильтра. Из рисунка 5 можно заметить, что скомпенсировать задержку невозможно, поскольку она меняется при изменении мгновенной частоты сигнала. Так компенсация задержки при высокой мгновенной частоте (в интервале от 100 до 150 мкс) фаза сигналов при низкой мгновенной частоте (в интервале от 50 до 100 мкс) не совпадает. Таким образом нелинейная ФЧХ фильтра привела к фазовым искажениям нашего сигнала, хотя амплитудные искажения минимальны так как АЧХ фильтра выбрана таким образом, чтобы сигнал не искажался.

Приведенный пример наглядно показывает, что нелинейная ФЧХ фильтра искажает сигнал и это надо учитывать, поскольку например при когерентной обработке искажения фазы недопустимы.

Теперь когда понятна необходимость использования фильтров с линейной ФЧХ мы исследуем свойства импульсных характеристик, которые обеспечивают эту самую линейную ФЧХ.

Дата добавления: 2014-01-20