Пояснения к отображению комплексной плоскости s в комплексную плоскость z

Ранее мы говорили о том, что переход из комплексной плоскости s в комплексную плоскость z существляется однозначным отображением. При этом всем нулям и полюсам фильтра в s плоскости соответствуют нули и полюса в z плоскости при фиксированном. Однако при билинейном преобразовании все нули и полюса отображаются согласно (4), при этом очевидно, что используя отображение и билинейное преобразование мы получим различные отображения одних и тех же нулей и полюсов из плоскости s в плоскость z. Именно эту разницу мы и проанализируем в данном разделе. Наиболее просто понять разницу отображения и билинейного преобразования на конкретном примере. Пусть имеется передаточная характеристика фильтра

(7)

Данный фильтр имеет единственный полюс. Пусть интервал дискретизации. Найдем отображение:

.

(8)

Отображение через билинейное преобразование дает полюс

(9)

Таким образом билинейное преобразование и отображение дают различные отображения полюса из плоскости s в плоскость z, а значит мы получаем различные передаточные характеристики фильтра.

На рисунке 3 показаны АЧХ фильтров при различном отображении полюса.

Рисунок 3: АЧХ фильтров при различном отображении полюса

На верхнем графике показана АЧХ полученная при отображении полюса согласно. Красным показана АЧХ исходного аналогового фильтра (деление на позволяет отнормировать период дискретизации). Синим показаны периодические повторения АЧХ,. Результирующая АЧХ полученная при отображении показана черным представляет собой сумму всех периодических составляющих. Таким образом, можно сделать вывод что переход от аналогового фильтра к цифровому при отображении приводит к наложению «хвостов» АЧХ аналогового фильтра.

На втором графике показана АЧХ полученная в результате билинейного преобразования. Как уже было сказано выше при билинейном преобразовании ось частот трансформируется согласно (6), при этом все «хвосты» аналогового фильтра укладываются в интервал, то есть на каждом периоде повторения АЧХ идет «стык в стык» без наложения «хвостов». Это принципиальное отличие билинейного преобразования от отображения. Таким образом переход от аналогового фильтра к цифровому целесообразнее производить через билинейное преобразование, так как оно избавлено от эффектов наложения в отличии от отображения.

Выводы

Таким образом, можно сделать вывод о том, что билинейное преобразование нелинейно искажает и «периодизирует» шкалу частот, но не меняет уровня неравномерности в полосе пропускания и уровня боковых лепестков фильтра. Последнее замечание крайне важно, так как позволяет нам использовать рассчитанные передаточные характеристики аналоговых фильтров для расчета цифровых фильтров.

Рассмотренные отличия билинейного преобразования и отображения позволяют сделать вывод о том, что применение билинейного преобразования позволяет избавится от эффектов наложения при переходе от аналогового фильтра к цифровому.

8. Цифровые фильтры с конечной и с бесконечной импульсной характеристикой. Примеры использования в анализе финансовых рядов.

Df Физический смысл групповой задержки фильтра. Цифровые фильтры с линейной фазочастотной характеристикой

Содержание

Введение

Физический смысл ФЧХ и групповой задержки. Свойство линейности ФЧХ фильтра

Условие линейности ФЧХ фильтра

Импульсные характеристики КИХ фильтров обеспечивающие линейную ФЧХ

Выводы

Дата добавления: 2014-01-20