Преобразование шкалы частот

Комплексный коэффициент передачи аналогового фильтра при использовании билинейного преобразования переходит в комплексный коэффициент передачи дискретного фильтра. При этом мы знаем, что - функция периодическая, а - апериодическая. Обозначим как циклическую частоту аналогового фильтра, чтобы отличить ее от циклической частоты частотной характеристики цифрового фильтра. Тогда комплексный коэффициент передачи аналогового фильтра обозначим как. Подставим теперь в выражение билинейного преобразования (1) и и получим:

(5)

Откуда следует, что

(6)

Выражение (6) задает частотное отображение при билинейном преобразовании. Графически отображение частот при билинейном преобразовании показано на рисунке 2 при.

Рисунок 2: Отображение осей частот при билинейном преобразовании

Рассмотрим данный громоздкий рисунок 2. На верхнем левом графике показана АЧХ аналогового нормированного ФНЧ. На левом нижнем графике показано частотное отображение, соответствующее (6) при. Обратим внимание что тангенс - периодическая функция, и частотная характеристика фильтра будет многократно периодически повторена с периодом рад/с. Правый верхний график показывает проекцию АЧХ, обеспечивающий заданный уровень боковых лепестков. И наконец, на нижнем правом графике показана АЧХ цифрового фильтра, полученного при помощи билинейного преобразования из аналогового ФНЧ. Желтым выделен один период АЧХ цифрового фильтра.

Отметим некоторые соотношения частот при проекции. Нулевая частота проецируется в частоту. Она же проецируется бесконечное количество раз через. Частота проецируется на частоту. Таким образом, диапазон частотной характеристики аналогового фильтра от 0 до 1 рад/с полностью размещается внутри диапазона от 0 до цифрового фильтра, а частотная характеристика от 1 до рад/с аналогового фильтра проецируется в диапазон от до цифрового фильтра. После через все повторяется.

Сделаем еще одно важное замечание. Поскольку функция, то можно сделать вывод о том что, другими словами частотная характеристика аналогового фильтра при из отрицательной области частот, в силу периодичности тангенса, переносится в область частот от до цифрового фильтра. Поскольку АЧХ аналогового фильтра с передаточной характеристикой всегда симметрична относительно нулевой частоты, т.е. при вещественных коэффициентах передаточной характеристики, то АЧХ цифрового фильтра, полученного путем билинейного преобразования из аналогового фильтра прототипа будет симметрична относительно частоты

Дата добавления: 2014-01-20