Частотное преобразование ФНЧ-РФ

Нам осталось рассмотреть лишь одно преобразование передаточных характеристик, а именно ФНЧ - режекторный фильтр (ФНЧ-РФ). Коридор АЧХ для режекторного фильтра показан на рисунке 6.

Рисунок 6: Коридор АЧХ режекторного фильтра

Как и полосовой фильтр, РФ имеет две переходные полосы, причем в отличии от ПФ, частоты коридора АЧХ режекторного фильтра удовлетворяют следующему правилу:, т.е. верхняя и нижняя частоты заграждения находятся рядом, а верхняя и нижняя частоты пропускания по краям.

Преобразования фильтра нижних частот в режекторный фильтр осуществляется при помощи подстановки:

(16)

Видно что данная подстановка обратна преобразованию ФНЧ-ПФ.

При этом частотная ось ФНЧ связана с частотной осью РФ соотношением:

(17)

Обратите внимание, что при пересчете используются как положительные, так и отрицательные частоты комплексного коэффициента передачи. Также можно заметить, если, то согласно (17),, или т.е. нулевая частота исходного ФНЧ «расходится» на 0 и на бесконечность. Если то согласно (17),. Таким образом, вся отрицательная полуось частот исходного ФНЧ преобразуется в интервал от 0 до режекторного фильтра, а положительная полуось частот нормированного ФНЧ преобразуется в интервал от до бесконечности. При этом полуоси исходного ФНЧ как бы «выворачиваются», т.е. нулевая частота «раздваивается» и расходится на бесконечность и, а частоты разнесенные на бесконечность сходятся в точке. Графически частотное преобразование ФНЧ-РФ показано на рисунке 7.

Рисунок 7: Графическое представление преобразования ФНЧ-РФ

Крайне важно заметить, что исходный ФНЧ не является нормированным, т.е. его частота среза не равна единицы, а меньше, так как на частоте ФНЧ должен обеспечивать заданный уровень подавления.

Как и в случае с полосовым фильтром, частотная характеристика преобразованного режекторного фильтра обладает геометрической симметрией относительно частоты. Действительно, возьмем две произвольные частоты, расположенные симметрично относительно нуля в АЧХ исходного ФНЧ и, тогда согласно (17) этим частотам после преобразования будут соответствовать некоторые частоты режекторного фильтра:

(18)

Тогда можно приравнять:

(19)

При произвольном задании частот коридора АЧХ режекторного фильтра (рисунок 6), мы должны так выбрать частоту среза исходного ФНЧ (напомним еще раз, что при расчете режекторного фильтра мы зафиксировали частоту заграждения исходного ФНЧ, а значит должны задавать именно частоту среза), при которой пересчитанный РФ будет удовлетворять заданному коридору АЧХ. Для задания частоты среза исходного ФНЧ необходимо, произвести анализ по аналогии с тем, что мы делали при расчете ПФ. А именно рассчитаем симметричные частоты для верхней и нижней частот среза РФ:

(20)

После этого необходимо сделать выбор: если, тогда пересчет частоты среза исходного ФНЧ осуществлять на основе верхней частоты среза по формуле:

(21)

В противном случае (если), то пересчет осуществлять по нижней частоте среза РФ:

(22)

Рассмотрим пример. Пусть частоты коридора АЧХ РФ заданы следующими значениями:,, и. Произведем пересчет частоты среза исходного ФНЧ. Для этого предварительно рассчитаем частоту. Рассчитываем симметричные частоты согласно (20):

(23)

Получили, что, и значит, что пересчет частоты среза ФНЧ надо вести по формуле (22), так как при этом и АЧХ полученного фильтра полностью уложится в заданный коридор. Рассчитаем частоту среза исходного ФНЧ согласно (22), при учете, что:

(24)

Обратите внимание, что частота среза полученного ФНЧ меньше единицы.

Таким образом, порядок расчета режекторного фильтра по заданному коридору АЧХ можно окончательно представить следующим образом:

Шаг 1. Выбор переходной полосы, по которой производить пересчет коридора АЧХ для ФНЧ по рассмотренному выше правилу и расчет частоты среза ФНЧ согласно (21) или (22).

Шаг 2. Расчет ФНЧ по заданному коридору АЧХ, полученному в шаге 1. Параметры неравномерности в полосе пропускания и уровня подавления в полосе заграждения принимаются такие же что и у режекторного фильтра.

Шаг 3. При помощи частотного преобразования производим пересчет частотной характеристики ФНЧ в РФ согласно (16).

Дата добавления: 2014-01-20