Характеристики цифровых фильтров

Ранее мы уже говорили, что цифровой фильтр задается свой передаточной характеристикой, которая представляет отношение z-образов выходного сигнала ко входному:

(4)

При этом мы уже знаем, что z-преобразование мы получили путем отображения комплексной s-плоскости вида где - период дискретизации исходного сигнала и импульсной характеристики фильтра. Без потери общности можно принять, тогда Тогда подставив в передаточную характеристику дискретного фильтра (4), мы получим передаточную характеристику фильтра по Лапласу, из которой можно получить комплексный коэффициент передачи дискретного фильтра путем подстановки. Таким образом, комплексный коэффициент передачи цифрового фильтра обозначается как и равен:

(5)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) цифрового фильтра может быть получена как модуль, а фазочастотная (ФЧХ) как аргумент:

(6)

Также вводят понятие групповой задержки как производной от ФЧХ:

(7)

Обратите внимание, что АЧХ и ФЧХ и групповая задержка цифрового фильтра есть непрерывные функции частоты. При этом согласно (5) периодическая функция с периодом, так как. Последнее равенство не вызывает сомнений, если подставить его в выражение (5). Таким образом, характеристику цифрового фильтра достаточно проанализировать на интервале.

Цифровой фильтр также определяется своей импульсной характеристикой, преобразование Фурье от которой дает комплексный коэффициент передачи. Если комплексный коэффициент передачи — периодическая функция частоты, то импульсная характеристика дискретного фильтра определяется как разложение в ряд Фурье:

.

(8)

Рассчитывать импульсную характеристику через интеграл не совсем удобно, кроме того количество отсчетов импульсной характеристики БИХ-фильтра бесконечно, и все их рассчитать невозможно. Однако, если фильтр устойчивый, то убывает, с увеличением, и можно рассчитать заданное количество отсчетов импульсной характеристики фильтра при помощи быстрого преобразования Фурье (FFT).

Пусть требуется рассчитать первых отсчетов импульсной характеристики фильтра, заданного передаточной характеристикой

Первое, что мы должны сделать — рассчитать комплексный коэффициент передачи заданного фильтра. Для численного расчета необходимо задать сетку частот. Тогда на данной сетке частот рассчитаем комплексный коэффициент передачи, таким образом, получим отсчетов комплексного коэффициента передачи фильтра. После этого можно рассчитать импульсную характеристику как, где - оператор обратного быстрого преобразования Фурье. Таким образом, мы рассчитали характеристики фильтра с заданной передаточной характеристикой. Данный путь расчета приводил к комплексному коэффициенту передачи в частотной области, с последующим преобразованием во временную.

На рисунках 6 и 7 показаны рассчитанные характеристики фильтра при и

.

(9)

Рисунок 6: Импульсная характеристика фильтра

Рисунок 7: Один период АЧХ и ФЧХ фильтра

Обратите внимание, что на рисунке 7 по оси абсцисс показана частота, таким образом, АЧХ и ФЧХ представлена для нормированных частот от 0 до 2. Кроме того, можно заметить, что АЧХ фильтра является симметричной относительно частоты, или, т.е., а ФЧХ является антисимметричной, т.е..

Рассмотрим теперь другой способ расчета характеристик фильтра — расчет во временной области. Для этого приведем структурную схему фильтра, заданного передаточной характеристикой (9) (рисунок 8).

Рисунок 8: Структурная схема фильтра

Для того, чтобы получить импульсную характеристику цифрового фильтра, необходимо подать на вход сигнал:

(10)

Тогда на выходе фильтра будет импульсная характеристика. Рассчитаем импульсную характеристику на выходе фильтра по его структуре.

Пусть на входе нулевой отсчет, тогда точка «а» равна 1, «б» и «в» равна нулю, тогда на выходе. При поступлении на вход отсчета получим точка «б» равна 1 (задержанная точка «a»), точка «в» равна 0.7 и точка «а» при равна 0.7, тогда. При имеем:, точка «б» равна 0.7, тогда точка «в» равна, точка «а» равна 0.49 и. Так можно продолжать до бесконечности. Ограничившись как и в предыдущем случае отсчетами импульсной характеристики получим полностью совпадающую с приведенной на рисунке выше. Тогда комплексный коэффициент передачи фильтра можно получить если взять БПФ от импульсной характеристики.

Оба приведенных способа расчета характеристик фильтра имеют приблизительно одну вычислительную сложность и какой из них выбрать решать пользователю.

Выводы

Таким образом, мы привели структурные схемы цифровых КИХ и БИХ фильтров и привели их характеристики. Была представлена структура КИХ фильтра, а также прямая и каноническая формы БИХ фильтров. Рассмотрены характеристики цифровых фильтров: комплексный коэффициент передачи, АЧХ, ФЧХ, групповая задержка и импульсная характеристика фильтра. Приведены способы численного расчета характеристик фильтра по его передаточной функции в частотной и во временной областях.

Расчет передаточной характеристики БИХ фильтра на основе аналогового фильтра прототипа. Билинейное преобразование

Содержание

Введение

Билинейное преобразование

Преобразование шкалы частот

Пояснения к отображению комплексной плоскости s в комплексную плоскость z

Выводы

Дата добавления: 2014-01-20