Билинейное преобразование

Введение

В предыдущей статье мы рассмотрели структурные схемы, а также характеристики цифровых фильтров при известной передаточной функции. Однако мы не говорили о том, как рассчитать саму. В данной статье мы рассмотрим основной на сегодняшний день метод расчета передаточной характеристики цифрового фильтра на основе передаточной характеристики аналогового фильтра - метод билинейного преобразования. Мы уже говорили о том, что переход от передаточной характеристики аналогового фильтра к цифрового фильтра можно осуществить переходом, где - период дискретизации сигнала. Но осуществлять экспоненциальное отображение плоскости s в плоскость z крайне не удобно, поскольку нам бы хотелось иметь дробно-рациональную подстановку, которую мы умеем вычислять. Поэтому на практике для перехода от аналогового фильтра к цифровому используют билинейное преобразование.

Билинейное преобразование осуществляется подстановкой вида:

(1)

Также данную подстановку можно инвертировать:

(2)

Рассмотрим некоторые свойства билинейного преобразования.

Если, то.

Если - чисто вещественно, то причем при модуль, а при модуль

Если - чисто мнимо, то получаем отношение комплексно-сопряженных чисел, модуль которого всегда равен единице, т.е..

Если, то при имеем, а при получим.

Таким образом сделаем вывод. При билинейном преобразовании мнимая ось плоскости s переходит в единичную окружность на плоскости z, причем левая полуплоскость плоскости s отображается внутрь единичной окружности плоскости z, а правая полуплоскость плоскости s отображается вне единичной окружности. Отображение плоскости s в плоскость z при билинейном преобразовании показано на рисунке 1.

Рисунок 1: Отображение плоскости s в плоскость z

Данное отображение очень похоже на то, что мы приводили, когда рассматривали переход от комплексной s-плоскости в комплексную z-плоскость (подробнее здесь). Такая схожесть обуславливается тем, что выражение (2) представляет собой разложение в ряд Тейлора при ограничении степени ряда равной единицы. Действительно, разложение в ряд Тейлора экспоненты равно:

(3)

Тогда можно представить:

(4)

Таким образом, билинейное преобразование позволяет осуществить переход из s плоскости в z-плоскость при помощи дробно-рациональной подстановки. Поскольку в числителе и знаменателе этой подстановки полиномы только первой степени, то при переходе от передаточной характеристики аналогового фильтра к цифровому фильтру с передаточной характеристикой, максимальная степень полиномов числителя и знаменателя не изменится, а значит не измениться и порядок фильтра.

Дата добавления: 2014-01-20