Расчет полосового фильтра по заданному коридору АЧХ

Частотное преобразование ФНЧ-ПФ

Для начала рассмотрим коридор АЧХ для полосового фильтра (ПФ), представленный на рисунке 1.

Рисунок 1: Коридор АЧХ полосового фильтра

На рисунке 1 обозначены: - нижняя частота заграждения ПФ, - нижняя частота пропускания ПФ, - верхняя частота пропускания ПФ, - верхняя частота заграждения ПФ, причем.

Преобразование нормированного ФНЧ в полосовой фильтр выполняется в виде постановки:

(1)

При этом частотная ось нормированного ФНЧ связана с частотной осью ПФ соотношением:

(2)

Обратите внимание, что при пересчете используются как положительные, так и отрицательные частоты комплексного коэффициента передачи.

Также можно заметить, если, то согласно (2),, т.е. нулевая частота исходного нормированного ФНЧ преобразуется в частоту. Если то согласно (2),, а если, то. Таким образом, вся отрицательная полуось частот нормированного ФНЧ преобразуется в интервал от 0 до полосового фильтра, а положительная полуось частот нормированного ФНЧ преобразуется в интервал от до бесконечности. Графически частотное преобразование ФНЧ-ПФ показано на рисунке 2.

Рисунок 2: Графическое представление преобразования ФНЧ-ПФ

На верхнем левом графике показана АЧХ исходного нормированного ФНЧ для положительных и отрицательных частот (поскольку коэффициенты передаточной функции нормированного ФНЧ чисто вещественны, то симметрично относительно нуля). Поскольку требуется оставить без изменения уровни подавления в полосе заграждения и неравномерность в полосе пропускания пересчитанного фильтра, то используется проекция (верхний правый график, проекции отображены синей пунктирной линией). Преобразование частоты согласно (2) показано на нижнем левом графике (линии проекции отображены зеленой пунктирной линией). На правом нижнем графике показана АЧХ пересчитанного ПФ, повернутая на 90 градусов, полученная в результате пересечения линий проекции.

Сделаем важное замечание. Если некоторая частота преобразуется согласно (2) в частоту, а частота в частоту, то можно записать:

(3)

откуда

(4)

Таким образом мы получили, что симметричные относительно точки АЧХ исходного нормированного ФНЧ преобразуются в точки с геометрической симметрией относительно частоты (термин геометрическая симметрия означает, что, т.е. есть среднее геометрическое и). Это крайне важное свойство частотного преобразования ФНЧ-ПФ, которое мы будем использовать в дальнейшем.

Геометрическая симметрия полученного ПФ относительно позволяет нам произвести пересчет частоты заграждения аналогового нормированного ФНЧ таким образом, что при нелинейном преобразовании оси частот согласно выражению (2) АЧХ полученного ПФ полностью укладывалась в заданный коридор АЧХ. До этого мы не накладывали никаких ограничений на частоты коридора АЧХ ПФ, а значит они могут быть выбраны произвольно лишь бы выполнялось условие. В случае с ФНЧ и ФВЧ у нас всегда была переходная полоса, которая задавала частоту заграждения нормированного ФНЧ, в случае с ПФ таких переходных полос две, и если даже мы удовлетворяем одной из этих двух переходных полос, то нет никакой гарантии, что мы удовлетворяем и второй. Поэтому прежде всего мы должны выработать правило выбора переходной полосы на основе которой мы будем производить пересчет коридора для исходного нормированного ФНЧ. Для этого рассмотрим рисунок 3.

Рисунок 3: Выбор переходной полосы пересчета частоты заграждения

Мы произвольно задали, рассчитали частоту согласно выражению. Теперь воспользовавшись правилом геометрической симметрии мы можем проверить куда относительно нижней частоты заграждения попадает частота симметричная верхней частоты заграждения (на рисунке 3 отмечена красным цветом):

(5)

На рисунке 3 показано два варианта: первый (верхний график рисунка 3), это означает, что если мы возьмем для расчета верхнюю переходную полосу, то полученная АЧХ не удовлетворит нижней переходной полосе ввиду свойства симметрии, и надо пересчет вести по нижней переходной полосе; второй вариант (нижний график рисунка 3) говорит о том, что выбрав верхнюю переходную полосу мы одновременно и удовлетворим нижней переходной полосе. Таким образом мы можем выбрать по какой переходной полосе вести пересчет частоты заграждения нормированного ФНЧ. Тогда частоту заграждения нормированного ФНЧ, можно рассчитать из выражения:

(6)

Рассмотрим пример. Пусть,, и, тогда пересчитываем:

(7)

Тогда пересчет частоты заграждения нормированного ФНЧ будем вести при и получим:

(8)

Рассмотрим второй пример. Пусть теперь коридор АЧХ ПФ задан с такими параметрами:,, и, тогда пересчитываем:

(9)

Тогда пересчет частоты заграждения нормированного ФНЧ будем вести при и получим:

(10)

Таким образом мы рассмотрели вопрос пересчета частоты заграждения нормированного ФНЧ для удовлетворения заданного коридора АЧХ полосового фильтра. Рассмотрим пример расчета ПФ по заданному коридору АЧХ.

Дата добавления: 2014-01-20