Преобразование ФНЧ-ФНЧ

Введение. Постановка задачи

В предыдущих статьях мы рассмотрели вопросы расчета аналоговых нормированных фильтров нижних частот. Был рассмотрен расчет фильтров Баттерворта, Чебышева и Кауэра (эллиптических фильтров). Однако это были лишь ФНЧ с частотой среза равной 1 рад/с. На практике требуется рассчитать различные типы фильтров: фильтры верхних частот (ФВЧ), полосовые фильтры (ПФ) и режекторные фильтры (РФ), да и ФНЧ тоже может потребоваться с различной частотой среза. В данной статье мы рассмотрим как нормированный ФНЧ можно пересчитать в любой тип фильтра с заданными характеристиками. Такой пересчет называется частотное преобразование фильтра и строится на дробно-рациональной подстановке, численный расчет которой был представлен здесь.

Пусть мы рассчитали передаточную характеристику нормированного ФНЧ при использовании выбранной аппроксимации АЧХ фильтра (Баттерворта, Чебышева или Кауэра):

(1)

Частота среза нормированного ФНЧ равна. Рассмотрим различные частотные преобразования передаточной характеристики.

Первое что мы рассмотрим, это преобразование нормированного ФНЧ с передаточной характеристикой в ФНЧ, с передаточной характеристикой, но с другой частотой среза. При этом очень важно, чтобы неравномерность в полосе пропускания фильтра и уровень подавления в полосе заграждения не изменились. Для этого используют дробно-рациональную подстановку вида:

(2)

Такая подстановка эквивалентна подстановке частоты в выражения для комплексного коэффициента передачи:

(3)

где - циклическая частота нормированного ФНЧ с АЧХ. Графическое представление частотного преобразования ФНЧ-ФНЧ показано на рисунке 1.

Рисунок 1: Графическое представление частотного преобразования ФНЧ->ФНЧ

На верхнем левом графике показана АЧХ исходного нормированного ФНЧ, а на нижнем правом — АЧХ после частотного преобразования (повернутая на 90 градусов). Для того, чтобы неравномерность в полосе пропускания и уровень подавления в полосе заграждения пересчитанного фильтра были такими же, что и у исходного нормированного ФНЧ, используют проекцию (верхний правый график), а для преобразования оси частот используют проекцию (3), как это показано на нижнем левом графике. Сами проекции отмечены синими и зелеными пунктирными линиями. Пересечение проекций преобразуют частоту согласно (3). Так на рисунке 1 показано преобразование нескольких точек исходного нормированного ФНЧ в ФНЧ с заданной частотой среза.

Например рассчитаем нормированный эллиптический ФНЧ, исходя из следующих начальных данных:

частота среза;

частота заграждения

неравномерность в полосе пропускания

подавление в полосе заграждения

Передаточная характеристика рассчитанного фильтра равна:

(4)

Пересчитаем полученную передаточную характеристику в передаточную характеристику эллиптического ФНЧ с частотой среза. Для этого в выражение (4) сделаем подстановку (2) получим:

(5)

На рисунках показаны АЧХ исходного нормированного ФНЧ и пересчитанного ФНЧ после частотного преобразования.

Рисунок 2: АЧХ исходного нормированного ФНЧ

Рисунок 3: АЧХ пересчитанного ФНЧ с частотой среза 10 рад/с

Дата добавления: 2014-01-20