Численный расчет КИХ фильтра на основе обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ)

Расчет КИХ фильтра с произвольной АЧХ и линейной ФЧХ методом частотной выборки

Пусть задана АЧХ КИХ фильтра аналитически, или предварительно измеренная каким-либо способом. АЧХ КИХ фильтра — периодическая, четная функция с периодом рад/c, как это показано на рисунке 3.

Рисунок 3: Периодическая симметричная АЧХ КИХ фильтра

Важно вспомнить, что частота цифрового фильтра всегда нормирована к частоте дискретизации, поэтому все частотные характеристики фильтров задаются на интервале от 0 до рад/c.

Если бы у нас был комплексный коэффициент передачи фильтра (без модуля), то мы могли бы произвести расчет импульсной характеристики как разложение в ряд Фурье периодической функции:

(3)

Но у нас задана только АЧХ, т.е. модуль комплексного коэффициента передачи, поэтому мы должны добавить ФЧХ, тогда:

,

(4)

и можно использовать выражение (3).

Таким образом, мы должны к требуемой АЧХ задать линейную ФЧХ и рассчитать КИХ согласно (3). Для того чтобы правильно задать линейную ФЧХ мы должны потребовать, чтобы фильтр вносил постоянную групповую задержку для любого из четырех типов фильтров. Тогда согласно (2)

(5)

При расчете неопределенного интеграла постоянная интегрирования приравнена к нулю.

Окончательно выражение для импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ принимает вид:

(6)

Данное выражение позволяет произвести аналитический расчет импульсной характеристики КИХ фильтра с линейной ФЧХ, что очень важно. Однако, на практике АЧХ может не быть задана аналитически, а даже если и задана, то аналитическое интегрирование не всегда возможно. Поэтому нам бы хотелось производить численный расчет импульсной характеристики КИХ фильтра с произвольной АЧХ, чем мы и займемся дальше.

Мы уже говорили о том, что требуется алгоритм численного расчета (6), ввиду сложностей с аналитическим вычислением интеграла (6). Для этой цели мы можем продискретизировать комплексный коэффициент передачи КИХ фильтра как это показано на рисунке 4 и рисунке 5 для четного и нечетного количества коэффициентов КИХ фильтра соответственно. К такому приему мы уже прибегали при переходе от интеграла Фурье к дискретному преобразованию.

Рисунок 4: Дискретизация периодической АЧХ и ФЧХ КИХ фильтра при четном N

Рисунок 5: Дискретизация периодической АЧХ и ФЧХ КИХ фильтра при нечетном N

Дискретизацию будем осуществлять на равноотстоящей сетке:

(7)

Тогда АЧХ и ФЧХ дискретизируются на данной сетке частот и комплексный коэффициент передачи представляется дискретными отсчетами:

(8)

где – дельта-функция:

(9)

Подставив выражение (8) в (6) получим:

(10)

В выражении (10) операции интегрирования и суммирования поменяны местами и применено фильтрующее свойство дельта-функции.

Учтем (7) и окончательно можно записать:

(11)

Выражение (11) ничто иное, как обратное дискретное преобразование Фурье (ОДПФ) комплексного коэффициента передачи

(12)

Это позволяет производить численный расчет КИХ фильтра с произвольной АЧХ с применением алгоритмов быстрого преобразования Фурье, что существенно увеличивает эффективность данного метода.

Сделаем очень важное замечание. При расчете необходимо правильно дискретизировать ФЧХ комплексного коэффициента передачи, так как это показано на рисунках 3 и 5. Так для фильтра с четным количеством коэффициентов ФЧХ дискретизируется согласно выражению (смотри рисунок 3):

(13)

В случае нечетного количества коэффициентов КИХ фильтра, ФЧХ дискретизируется согласно выражению (смотри рисунок 5):

(14)

В случае четного мы получим КИХ фильтр 2-го или 4-го типа, а при нечетном – первого или третьего типа.

Такая дискретизация ФЧХ необходима, чтобы обеспечить свойства симметрии комплексного коэффициента передачи фильтра, который по сути – дискретное преобразование Фурье от импульсной характеристики КИХ фильтра. Поскольку импульсная характеристика должна быть чисто вещественной, то необходимо выдерживать симметрию АЧХ и ФЧХ, иначе при расчете импульсной характеристики при помощи ОДПФ появится мнимая часть.

Дата добавления: 2014-01-20