Уравнения малых колебаний

Уравнения движения

Постановка задачи. Описание модели

Модель мостового крана (рис. 1) состоит из двух тел: тележки, перемещающейся по горизонтальным направляющим и точечного груза, связанного с тележкой невесомым нерастяжимым тросом. Масса тележки, масса груза, длина троса. Трение между тележкой и направляющими отсутствует. На тележку действует периодическая сила, где - амплитуда, частота возмущающей силы.

Рис.1 Модель мостового крана

Рассматриваемая модель представляет собой механическую систему с двумя степенями свободы и идеальными голономными связями. В качестве обобщенных координат выберем координату, задающую положение тележки, и угол отклонения троса от вертикали. Уравнения движения системы составим в форме уравнений Лагранжа второго рода.

Согласно общей методике, запишем кинетическую энергию системы

Оглавление

Проекции скоростей точек A и B на оси координат равны

Здесь и далее точкой обозначается дифференцирование по времени t.

Кинетическая энергия системы

Потенциальная энергия

Функция Лагранжа

Для определения обобщенных неконсервативных сил, обусловленных наличием периодической силы, действующей на тележку, найдём элементарную работу этой силы на возможном перемещении точки приложения силы

.

Следовательно, обобщенные неконсервативные силы равны

.

Вычисляя необходимые для составления уравнений Лагранжа производные, получим

Тогда уравнения Лагранжа будут

Оглавление

При отсутствии возмущающей силы уравнения допускают частные решения. Эти решения соответствуют положениям равновесия системы, в которых тележка покоится, а груз занимает либо нижнее,, либо верхнее, положение равновесия. Значение координаты в положении равновесия, вообще говоря, не определено.

Предположим, что система совершает малые колебания около положения равновесия, соответствующего нижнему положению груза. Обозначим отклонения от положения равновесия

.

Выполним в уравнениях Лагранжа замену переменных

В результате непосредственной подстановки в уравнения Лагранжа, получим

Проведем линеаризацию полученной системы уравнений, то есть заменим нелинейные уравнения движения приближенными линейными уравнениями. При построении линейного приближения принимаются во внимание только линейные по переменным члены разложения в ряд Тейлора входящих в уравнения функций.

Таким образом, примем, что, слагаемыми и т.п. будем пренебрегать. В результате получим систему уравнений

Оглавление

Дата добавления: 2014-01-20