Решение уравнений вынужденных колебаний

Нормализация. Переход к безразмерным переменным

Для нормализации системы уравнений перейдем к безразмерным координатам и времени. Введем новые переменные состояния

.

В формулах замены переменных L – характерный линейный размер системы, – временной нормализующий параметр. Значения параметров L и выбираются в зависимости от цели исследования, они зависят от характерных размеров системы и времен, на которых проводится анализ. Немаловажным является соображение упрощения вида уравнения и очевидности физической интерпретации безразмерных параметров нормализованных уравнений.

При переходе к безразмерному времени, следует учесть, что производные по исходному размерному времени и безразмерному связаны соотношениями.

В результате замены переменных и перехода к безразмерному времени в формулах, получим

В системе уравнений штрихом обозначено дифференцирование по безразмерному времени. Безразмерная частота изменения возмущающей силы в правой части.

Каждое из слагаемых первого уравнения системы имеет размерность силы, а каждое слагаемое второго уравнения имеет размерность момента, причем размерными являются только коэффициенты при, сами же переменные и их производные безразмерны. Для перехода к безразмерному виду разделим каждое из уравнений на коэффициент при

Оглавление

В уравнениях все слагаемые безразмерны и содержат безразмерные параметры.

Очевидно, что вид уравнений будет проще, если для нормализующих параметров выбрать значения.

Такой выбор означает, что в качестве характерного времени задачи выбирается период свободных колебаний груза (в случае, если бы тележка крана была бы неподвижна), а в качестве характерного размера – длина троса.

Тогда из системы получим

Все слагаемые в уравнениях безразмерны и содержат следующие безразмерные параметры.

Видно, что проведенная нормализация не годится для анализа динамики системы при бесконечно малых значениях.

Структура системы уравнений такова, что позволяет получить последовательно сначала решение для, а затем и для. Исключим из системы переменную и получим уравнение в безразмерном времени для переменной, которая есть не что иное, как угол отклонения троса от вертикали

.

Оглавление

В уравнении безразмерная частота колебаний груза

зависит от соотношения масс груза и тележки. Коэффициент в правой части уравнения равен.

Окончательно имеем уравнение вынужденных колебаний груза

.

Это линейное неоднородное уравнение, его частное решение с нулевыми начальными условиями может быть, согласно теореме Коши, получено в виде интеграла свёртки

,

где - весовая функция, - функция в правой части уравнения.

Так как весовая функция данного уравнения равна, то интеграл имеет вид

Воспользовавшись известной тригонометрической формулой

,

из выражения получим

Результат интегрирования существенным образом зависит от соотношения между собственной частотой колебаний груза и частотой изменения внешней силы.

Оглавление

1.5.1. Случай резонанса

Так, если собственная частота колебаний груза совпадает с частотой изменения внешней силы, то есть, если, имеет место внешний резонанс.

В этом случае интеграл будет равен

Очевидно, что амплитуда колебаний груза в резонансном случае линейно возрастает со временем.

Рис.2 Изменение угла отклонения стрелы в резонансном

Дата добавления: 2014-01-20