Весовая матрица. Решение систем линейных дифференциальных уравнений. Теорема Коши

Вопросы для самоконтроля

От частоты вынуждающей силы

Нерезонансный случай

Случае ()

Случае ()

Оглавление

Рис.3 Изменение угла отклонения стрелы в резонансном

Графики зависимости колебаний стрелы в резонансном случае представлены на рис. 2, 3. График на рисунке 2 построен для значений и частота, на рисунке 3, соответственно, и.

Если собственная частота и частота изменения внешней силы не совпадают, то вычисление интеграла дает

Оглавление

Таким образом, вынужденные колебания стрелы мостового крана в нерезонансном случае происходят по закону

Полученное решение уравнений вынужденных колебаний представляет собой сумму частного решения уравнения собственных колебаний и частного решения уравнения вынужденных колебаний. Такая сумма уже не будет не только гармоническим колебанием, но и, вообще говоря, при произвольных значениях и периодической функцией. Графики решения для различных значений частот и приведены на рисунках 4, 5.

Рис.4 Изменение угла в нерезонансном случае

Оглавление

Рис.5 Изменение угла в нерезонансном случае

Амплитуда вынужденных колебаний, как это видно из, обратно пропорциональна разности, то есть, тем больше, чем ближе значения собственной частоты и частоты вынуждающей силы. График зависимости модуля амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (АЧХ) приведен на рисунке 6.

Рис.6 Зависимость модуля амплитуды вынужденных колебаний

Оглавление

1.5.3. Биения

Характерный вид имеет решение уравнений вынужденных колебаний в случае, когда собственная частота и частота изменения внешней силы имеют близкие значения.

Как это видно из формулы

Зависимость может быть представлена в виде произведения двух гармонических функций с существенно различающимися частотами и. Малая частота называется несущей частотой. Большая частота называется частой модуляции. Соответствующие периоды равны,.

При малых значениях параметра, справедливы приближённые соотношения

Графики изменения переменной при близких значениях собственной и вынуждающей частот приведены на рисунках 7, 8. Такой вид колебаний называется биениями. Аналогичные режимы наблюдаются также в системах со многими степенями свободы в случае близких значений собственных частот.

Оглавление

Рис.7 Биения

Рис.8 Биения

1. Какие уравнения описывают вынужденные, а какие уравнения описывают свободные колебания механической системы?

2. Что такое характеристическое уравнение линейного дифференциального уравнения?

3. Дайте определение весовой функции линейного дифференциального уравнения. Каким начальным условиям удовлетворяет весовая функция?

Оглавление

4. Сформулируйте теорему Коши о частном решении неоднородного линейного дифференциального уравнения.

5. Какой вид имеет общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения?

6. Сформулируйте условие возникновения резонансных режимов колебаний. Какой вид имеет решение линейного дифференциального уравнения второго порядка в случае резонанса?

7. Являются ли вынужденные колебания при произвольных начальных условиях гармоническими?

8. Когда в линейной системе с одной степенью свободы возникают биения?

Оглавление

ЛЕКЦИЯ 2.
ЛИНЕЙНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ

Решение однородных и неоднородных систем линейных дифференциальных уравнений. Весовая матрица, теорема Коши, теорема Гамильтона-Кэли, матричная экспонента

Рассмотрим динамическую систему, поведение которой описывается системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

,

где

- вектор переменных состояния,

- постоянная матрица системы,

вектор в правой части системы уравнений, вообще говоря, непостоянный.

Для решения системы необходимо задать вектор переменных состояния в начальный момент времени.

Оглавление

Если вектор тождественно равен нулю, то система уравнений называется однородной и имеет вид

Определение

Характеристическим уравнением матрицы А называется

.

Определение

Весовой матрицей линейной системы уравнений или называется матрица

,

составленная из n частных решений однородной системы уравнений, удовлетворяющих начальным условиям

,

где - единичные вектора

.

Так как весовая матрица состоит из столбцов, представляющих собой частные решения однородной системы уравнений с единичными начальными условиями, то и весовая матрица удовлетворяет и единичным начальным условиям

.

В - n мерная единичная матрица

Оглавление

.

Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений имеет вид

,

где

вектор начальных условий для вектора переменных состояния.

Общее решение неоднородной системы равно сумме общего решения однородной системы и частного неоднородной с нулевыми начальными условиями.

Теорема Коши

Частное решение неоднородной системы уравнений (1.1) с нулевыми начальными условиями может быть записано в виде интеграла свертки

Докажем теорему Коши.

Интеграл равен 0, при. Это очевидно. Значит, решение удовлетворяет нулевым начальным условиям.

Производная от интеграла свертки равна

При преобразовании первого слагаемого примем во внимание, что весовая матрица удовлетворяет единичным начальным условиям

.

Оглавление

При преобразовании второго, что весовая матрица удовлетворяет однородному уравнению

,

а постоянная матрица А может быть вынесена из-под знака интеграла, то есть

.

Интеграл в не что иное, как интеграл свертки, значит для него справедливо

.

Тогда из,, следует

.

Теорема Коши доказана.

Дата добавления: 2014-01-20