Матричная экспонента. Теорема Гамильтона-Кэли

Определение

Экспонентой от матрицы А называется бесконечный ряд

Экспонента от матрицы быть определена только для квадратной матрицы и представляет собой квадратную матрицу таких же размеров, как и матрица А.

Утверждение

Экспонента от матрицы равна весовой матрице.

В самом деле, при, матричная экспонента равна единичной матрице, так же, как и весовая матрица.

Производная в силу её определения равна

Оглавление

,

то есть, удовлетворяет однородной системе уравнений, той же, что и весовая матрица.

Таким образом, утверждение доказано, и задача определения весовой матрицы оказалась тождественной задаче определения матричной экспоненты.

Для нахождения матричной экспоненты применим следующую теорему.

Теорема Гамильтона-Кэли

Всякая матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. То есть

.

Из теоремы Гамильтона –Кэли следует, что все степени матрицы А порядка большего, чем n-1, могут быть выражены через степени матрицы А порядка меньшего, чем n. В самом деле, для n -ой степени матрицы А из имеем

.

Тогда для матрицы получим

И так далее. Если провести эту процедуру для всех слагаемых бесконечного ряда, то окажется, что матричная функция представлена в виде разложения по степеням матрицы А до порядка n-1 включительно с коэффициентами, зависящими от времени

.

Вычислим производную по времени от матричной экспоненты в соответствии с представлением её

Оглавление

Поскольку матричная экспонента удовлетворяет дифференциальному уравнению

,

то из следует

Применяя теорему Гамильтона-Кэли для понижения степени матрицы А в, получим

,

или

Приравнивания коэффициенты при одинаковых степенях матрицы А, получим систему дифференциальных уравнений для функций

.

В соответствии с представлением, начальные условия для коэффициентов будут

.

Система уравнений с начальными условиями может быть записана в матричной форме

Оглавление

,

где

.

Тогда из, для начальных условий получим

,

и, как следствие, из,

.

В, верхний индекс в скобках обозначает порядок производной по времени.

Замечание 1:

Структура системы уравнений такова, что она всегда может быть сведена к одному уравнению для коэффициента

.

Начальные условия для коэффициента и его производных в соответствии с равны

.

То есть, функция есть весовая функция дифференциального уравнения, характеристическое уравнение которого совпадает с характеристическим уравнением матрицы А.

Замечание 2:

Функции где,, линейно независимы.

Оглавление

В самом деле, составим линейную комбинацию и приравняем ее нулю

.

Как следует из, равенство, при выполняется, только если. Производная выражения равна

.

Согласно равенство при выполняется, только если.

Выполняя дифференцирование до порядка n-1 включительно, получим, что, в силу начальных условий и остальные коэффициенты равны 0. Таким образом, линейная комбинация функций может быть равна нулю только при нулевых коэффициентах, что и доказывает линейную независимость.

Дата добавления: 2014-01-20