Метод переменных состояния

Это единственный из методов формирования ММС, который позволяет получить математическую модель в нормальной форме Коши. Рассмотрим получение ММС на примере механической системы (рис.1)

Рис. 1.

1. Составляем эквивалентную схему (рис.2).

Рис. 2.

2. Строим граф эквивалентной схемы (рис.3) Граф практически повторяет эквивалентную схему, но без условных изображений ветвей.

Рис. 3.

3. Выбираем нормальное дерево графа. Нормальное дерево — это фундаментальное дерево (не образующее контуров), в которое ветви включены согласно приоритету E,C,R,L,I (в соответствии с аналогиям физических однородных подсистем). В данном случае в качестве ветвей дерева нужно использовать ветви m1 и m2. (рис.4)

Рис. 4.

4. Строим матрицу контуров и сечений, где столбцы соответствуют ветвям дерева, а строки — хордам.

5. Для получения топологических уравнений сканируем М-матрицу по строкам и столбцам. При сканировании по строкам получаем уравнения непрерывности (неразрывности), при сканировании по столбцам - уравнения равновесия. При получении уравнений непрерывности знаки элементов матрицы меняются на противоположный.

V_TR1=-V_m1

V_TR2=-V_m2

V_c=V_m1-V_m2

V_F=-V_m2

F_m1=F_TR1-F_c

F_m2=F_TR2+F_c+F

6. Добавляем компонентные уравнения всех ветвей.

F_TR1= К_TR1V_TR1

F_TR2= К_TR2V_TR2

=F_m1

=F_m2

=CV_c

7. Получаем нормальную форму Коши, раскрывая правые части последних трех уравнений

=(F_TR1-F_c)=(К_TR1V_TR1-F_c)=(К_TR1(-V_m1)-F_c)

=(F_TR2+F_c+F)=(К_TR2V_TR2+F_c+F)=(К_TR2(-V_m2)+F_c+F)

=C(V_m1-V_m2)

Далее, используя численный метод интегрирования, получаем переходные процессы.

Примечание 1. Нормальная форма Коши не может быть получена если в ветви дерева попадет ветвь типа L или в хорды - ветвь типа C.

Узловой метод получения ММС (var1)

Метод развивался в домашинное время в электротехнике как метод узловых потенциалов и в строительной механике как метод перемещений.

1. Исходная информация вводится в виде эквивалентной схемы.

2. Составляется матрица инцидентности А=(a_ij), которая содержит информацию о структуре схемы (что с чем соединено). Если i – номер узла, j – номер ветви,

a_{ij =(+/-)}1, если узел i и ветвь j инцидентны. Иначе 0.

(+) если в ветви направление тока к узлу

(-) если направление тока от узла.

Пример: принц схема??

Эквивалентная схема

Узлы C1 C2 R1 R2 R3 L1 J

1 0 0 -1 0 0 0 1

2 -1 0 +1 -1 0 0 0

3 0 0 0 +1 -1 +1 0

4 0 -1 0 0 +1 0 0

Матрица инцидентности

3. Составляется матрица проводимости ветвей y = dI/dU

- Резистивная ветвь y_i =1/R_i

- Источник тока y_i = 0

- Емкостная ветвь I_с = С dU/dt. Производится замена конечными разностями I_n = C (U_n –U_n-1)/h, h – шаг интегрирования. I_n = y U_n + q, где y = c/h,

q = - c/h U_n-1 .

- Индуктивная ветвь U_n = L (I_n – I_n-1)/ h. I_{n =} y U_n + q, где y = h/L и

q = I_n-1

В общем виде I = Y U + Q -набор компонентных уравнений.

В развернутом виде:

U_c1 U_c2 U_R1 U_R2 U_R3 U_L1 U_J1

I_C1 C₁/h -C1/h U₁^n-1

I_C2 C₂/h -C2/h U₂^n-1

I_R1 1/R₁ 1/R₁ U₁

I_R2 1/R₂ 1/R₂ U₂

_{матрица узловых проводимостей вектор невязок}

A – матрица узловых проводомостей В – вектор невязок

4. Записываем топологические уравнения в матричной форме: сумма токов - узла равна 0

A I = 0

Подставляем вместо тока его значение из матричной формы компонентных уравнений

A Y U + A Q = 0

Переходим от напряжений к потенциалам

U = A^т Фи(фи1, фи2, …)

A Y A^т Фи = A Q

или Я Фи = A Q, где Я – матрица Якоби

Эта система и решается на каждом шаге интегрирования.

Ограничения классического узлового метода:

- в схемах не должно источников напряжения

- в аргументах зависимых ветвей могут быть только потенциалы

В программах анализа, использующих модифицированный узловой метод, эти ограничения сняты за счет усложнения СЛАУ

Модифицированный узловой метод лежит в основе блоков анализа эквивалентных схем программ PA-9, OrCad, МicroCap, Adams.

Узловой метод (var2)

Базис узлового метода составляют переменные типа потенциала, в дальнейшем узловые потенциалы. В основе узлового метода лежит уравнение равновесия

()= - сумма переменных типа потока в узлах эквивалентной схемы равна нулю.

Данное выражение представляет собой систему нелинейных алгебраических уравнений, для решения которой воспользуемся методом Ньютона. Для нахождения неизвестного вектора поступим следующим образом. Будем считать, что известно некоторое приближеное решение и необходимо найти поправку к нему , то есть

= +

Разложим функцию в ряд Тейлора и оставим в разложении только два члена

() = (+ )=()+ =

Для нахождения поправки необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений

()=-() (1)

где ()= - матрица узловых проводимостей, () - вектор невязок вектор поправок.

после этого считаем =+ и снова формируем и решаем систему (1).Цикл заканчивается при выполнении условия

ε₁ или () ε₂ или по комбинации этих условий или неудачно по превышению числа итераций.

Выражение (1) и есть математическая модель объекта в узловом базисе. То есть, для его получения необходимо сформировать матрицу узловых проводимостей и вектор невязок.

Рассмотрим формирование ММС для схемы представленной на рис.1

Рис. 1.

Будем считать ток положительным, если он вытекает из узла, в противном случае - отрицательным. Направления токов в пассивных элементах могут быть заданы произвольно, если они не совпадут с действительным направлением, то получим значение тока со знаком минус. Размерность математической модели определяется числов узлов схемы минус 1, то есть в нашем случае равна трем.

= -

G=1/R с соответствующим индексом.

Отдельный элемент тоже можно рассматривать как схему, например резистор (рис.2)

Рис. 2.

Математическая модель этого объекта будет выглядеть следующим образом:

= -

Как можно видеть для ММС схемы рис.1 каждый элемент типа R дает аддитивный вклад в общую математическую модель, в соответствии с узлами подключения.

Такой же аддитивный вклад можно определить для произвольного многополюсного элемента.

Как следует из (1) допустимый вид компонентного уравнения - I=I(φ). То есть напрямую узловой метод может быть применен к анализу статических состояний. Но одна из основных задач анализа объекта на макроуровне - это получение временных диаграмм работы устройств, то есть анализ динамики. Динамические процессы в объекте определяются реактивными элементами типа С и L. Если привести компонентные уравнения элементов С и L к виду I=I(φ),то можно говорить и об анализе динамики. Компонентное уравнение элемента типа С I= C дискретизируем с помощью какого-либо метода численного интегрирования, например, с помощью с помощью неявного метода Эйлера =

I=(U-U_n-1)=(φ_i-φ_j)-U_n-1

Таким образом, на одном шаге численного интегрирования получили компонентное уравнение в допустимом виде, и модель элемента типа С может быть представлена следующим образом:

= -

Аналогично для элемента типа L.

U=L=(I-I_n-1) или I=I_n-1+ (φ_i-φ_j)

= -

Достоинства узлового метода:

1. Малая размерность математической модели

2. Простой алгоритм формирования ММС

3. Простые алгоритмы работы с многополюснымии элементами, что позволяет разрабатывать библиотеки ММЭ с вложенными элементами

Недостатки узлового метода:

1. Ограничение на вид компонентного уравнения.

2. Методы численного интегрирования ОДУ растворены в компонентных уравнениях реактивных ветвей.

Дата добавления: 2014-01-20