Метод контурных токов

Число уравнений, подлежащих решению, в ряде случаев также можно значительно сократить, используя метод контурных токов, основанный на применении второго закона Кирхгофа и обобщенного закона Ома.

Здесь для каждого из взаимно независимых контуров назначается так называемый контурный ток, замыкающийся по всем ветвям контура. Направления этих токов произвольны.

Пример. Рассмотрим применение этого метода для цепи, рассмотренной выше. Ее изображение (рис. 3) отличается наличием обозначений для контурных токов I_{K 1} – I_{K 4}, обозначенных дугообразными стрелками.

Рис. 3. Сложная электрическая цепь

Для выбранных контурных токов записываются уравнения по второму закону Кирхгофа. Контур при этом обходится по направлению контурного тока. Рассмотрим порядок составления уравнения на примере третьего контура. Контурный ток I_{K 3}, протекая по сопротивлениям своего контура, создает на них падение напряжения

(5)

По сопротивлению R ₄, являющемуся элементом третьего контура, протекает контурный ток I_{K 2}. Создаваемое им падение напряжения I_{K 2}× R ₄ вычитается из предыдущего, так как направление тока I_{K 2} в сопротивлении R ₄ противоположно току I_{K 3}. Сопротивление R ₆ также входит в третий контур. Падение напряжения на нем, создаваемое контурным током I_{K 4}, складывается с суммой (5), так как направления I_{K 4} и I_{K 3} в R ₆ одинаковы. В правой части уравнения записывается алгебраическая сумма всех ЭДС контура, в данном случае – единственная ЭДС E ₄.

Итак, для третьего контура имеем:

Аналогично составляются и остальные контурные уравнения:

После решения последней системы действительные токи ветвей определяются по найденным контурным:

(6)

Контурные уравнения получаются подстановкой формул (6) в уравнения второго закона Кирхгофа (2).

На рассмотренном примере можно сформулировать последовательность действий при расчете электрической цепи методом контурных токов.

План анализа:

1. Произвольно выбрать направления всех токов в ветвях на исходной схеме.

2. Выбрать

N_К = N_в – N_у + 1 – N_т

независимых контуров,

где N_в – число ветвей;

N_у – число узлов;

N_т – число источников тока.

Обозначить контурные токи I_i так, что бы каждый из них проходил через один источник тока, а оставшиеся N_К выбирают проходящими по ветвям, не содержащим источников тока.

3. Обходя каждый из независимых контуров в выбранном направлении, записать уравнения по второму закону Кирхгофа и решить их относительно контурных токов.

где R_nn – сумма сопротивлений всех ветвей контура n, т.е. собственное сопротивление контура n.

R_n – общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим источник тока J.

R_ns – общее сопротивление контуров n и s, общее сопротивление контуров записывается со знаком "плюс", если контурный ток I_nn совпадает по направлению с контурным током I_ss, иначе со знаком "минус".

E_nn – алгебраическая сумма ЭДС контура n. ЭДС записывается со знаком "плюс", если контурный ток I_nn совпадает по направлению с направлением ЭДС, иначе со знаком "минус".

4. Вычислить истинные токи во всех ветвях, используя первый закон Кирхгофа, как алгебраическую сумму контур-ных токов, протекающих по данной ветви

I_n = ΣI_nn.

Контурный ток I_nn записывают со знаком "плюс", если он совпадает по направлению с током I_n, и со знаком "минус" − если не совпадает.

Дата добавления: 2014-01-20