Лекция № 9. Алгебраические критерии устойчивости

Алгебраические критерии устойчивости.

Эти критерии используются в случаях, когда динамика систем или структуры задана дифференциальными уравнениями.

Для того, чтобы система, описываемая дифференциальными уравнениями, характеристическое уравнение которой будет иметь вид

a_npⁿ+a_n-1p^n-1+…+a₁p+a₀=0

была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения имели один знак и диагональный детерменант порядка n-1, составленной из коэффициентов уравнения, а также все диагональные миноры были бы положительными.

D_n-1=– главный определитель (детерминант)

Если отсутствует коэффициент, то ставится 0.

Все диагональные миноры получаются из главного определителя путем вычеркивания последовательно последнего столбца и строки предыдущего минора.

→→→a_n-1

Тогда условие устойчивости в алгебраическом виде будет записана:

1) a_n˃0; а_n-1˃0; а₀˃0.

2) D_n-1˃0; D_n-2˃0; D₁˃0.

Для любых степеней характеристического уравнения этот критерий

называется критерием Гауса или Гауса-Гурвица.

Для систем 3-го порядка были исследованы характеристические уравнения математиком Вышнеградским и получены результаты, позволяющие в большинстве случаев использовать их для промышленных систем 3-го порядка, т.к. большинство систем описывается уравнениями не выше 3-го порядка с высокой степенью точности.

Пример

1. Дано характеристическое уравнение, найденное из дифференциального уравнения

p⁴+5p³+3p²+2p+0,03=0

а) а₁˃1, а₂˃0, а₃˃0, а₄˃0, а₀˃0.

б) D₃ ˃0

D₂= =15-2=13˃0

D₁=|5|=5˃0 Система устойчива.

2. p⁴+5p³+3p²+2p+1=0

а) а₁˃1, а₂˃0, а₃˃0, а₄˃0, а₀˃0.

б) Главный определитель будет положительный

D₃=1

3. p⁴+3p³+0,2p²+p+1=0

D₃

Система неустойчива, т.к. D₃=-3,4˂0.

Дата добавления: 2014-01-20