Примеры линейных операторов. Отметим матричную запись указанных выше свойств линейныхоператоров линейного пространства:

Отметим матричную запись указанных выше свойств линейныхоператоров линейного пространства:

1. Образ суммы векторов равен сумме образов складываемых векторов. Если и ‑ одностолбцовые матрицы, соответствующие складываемым векторам, то

2. Если – произвольное число, а – одностолбцовая матрица, соответствующая данному вектору, то

Наибольший интерес представляют такие операторы, при которых для каждого вектора (точки) существует единственный прообраз. Это значит, что уравнение (4.5) должно быть разрешено относительно при любом . Ранее было показано, что это возможно только в том случае, если матрица неособенная. В этом случае можем написать

Если матрица неособенная, то соответствующий линейный оператор является невырожденным. Он преобразует (причем взаимно однозначно) пространство в себя самого, то есть каждая его точка является образом его некоторой единственной точки. Если матрица особенная, то соответствующий линейный оператор является вырожденным. При вырожденном линейном операторе линейное пространство преобразуется в некоторую свою часть.

Дата добавления: 2014-01-20