Определители n-го порядка

Определителем 3-го порядка называется величина, обозначаемая символом

Определители 2-го и 3-го порядков

Определителем 2-го порядка называется величина, обозначаемая символом , и вычисляемая по формуле .

, и вычисляемая по формуле (*)

Формула (*) получается по следующей формуле:

Определитель 4-го порядка состоит из 4 строк и 4 столбцов, определитель 5-го порядка состоит из 5 строк и 5 столбцов и т.д., соответственно определитель n-го порядка состоит из n строк и n столбцов:

- определитель n-го порядка,

числа - элементы определителя (индекс i - номер строки, индекс j –номер столбца, на пересечении которых стоит данный элемент). ( .... ) – главная диагональ, а ( .... ) - побочная диагональ.

Вычисление определителей 4-го и последующих порядков можно свести к вычислению определителей 2-го и 3-го порядков с помощью следующих свойств определителей:

Свойства определителей:

1. величина определителя не изменится от замены строк столбцами.
2. величина определителя от перестановки двух любых строк (столбцов) меняет свой знак на противоположный.
3. умножение всех элементов произвольной строки(столбца) определителя на число равносильно умножению числа на величину определителя.
4. определитель со строкой (столбцом), состоящей только из нулей, равен нулю.
5. если все элементы некоторой строки (столбца) состоят из двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, в одном из которых элементами этой строки (столбца) являются первые слагаемые, во втором – вторые, а остальные элементы такие же, как и в данном определителе.
6. определитель равен нулю, если элементы каких-нибудь двух строк (столбцов) пропорциональны.
7. величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольное число .

Последнее свойство определителей сформулируем, введя предварительно понятие алгебраического дополнения элемента определителя.

Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется произведение на определитель (n-1)-го порядка, получающийся вычеркиванием в данном определителе строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .

8. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.

(**)

Это свойство позволяет свести вычисление определителя n- го порядка к вычислению определителей (n-1)-го порядка. Если некоторые элементы строки (столбца) равны нулю, то в сумме (**) соответствующие им слагаемые равны нулю и потребуется вычислять не n определителей (n-1)-го порядка, а меньше.

Дата добавления: 2014-01-20