Необходимое условие экстремума. Теорема 34. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю

Теорема 34. Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю,

существует. Переходя к пределу при , получим , если . Это возможно лишь в случае , то это не всегда означает, что точка – точка экстремума. Действительно, для функции в точке производная , но точка не является ни минимумом, ни максимумом (рис. 66). Существуют так же функции, которые в точках экстремума не имеют производных. Так функция в точке не имеет производной, но эта точка является ее минимумом (рис. 67).

Достаточное условие экстремума.

Теорема 35. Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой – окрестности критической точки и при переходе через нее (слева направо) производная , для любого и , а вторая производная в точке существует и отлична от нуля , то при в точке функция имеет максимум, а при – минимум.

Доказательство. Пусть . Так как

Если , то .

Таким образом, при переходе через точку первая производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, по теореме 35 достаточных условий экстремума, точка есть точка минимума. Аналогично доказывается случай для точки максимума.

Пример 60. Исследовать монотонность функции

и найти ее точки экстремума.

Решение. Найдем производную функции и приравняем ее к нулю

Откуда . Точки и не лежат на отрезке , поэтому находим значения функции в точках и на границе отрезка - в точках и :

Выбираем наименьшее и наибольшее из этих значений.

Ответ: .

Точки перегиба.

Основные понятия.

График дифференцируемой функции называется выпуклым (вогнутом) на интервале , если он расположен выше (ниже) ее любой касательной на этом интервале (рис. 72).

Точка графика непрерывной функции , в которой она меняет вогнутость на выпуклость называется точкой перегиба.

Так на рис. 73 функция на интервале является выпуклой а на интервале – вогнутой. Следовательно, точка является точкой перегиба.

Дата добавления: 2014-01-20