Достаточные условия выпуклости и вогнутости функции на интервале

Выпуклость и вогнутость функции на интервале можно определить с помощью ее вторых производных.

Теорема 37. Если функция во всех точках из интервала имеет отрицательную (положительную) вторую производную ( ), то график функции на этом интервале является выпуклым (вогнутым).

Доказательство. Пусть . Возьмём на графике функции произвольную точку М с координатами и проведём через неё касательную. Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого возьмём произвольную точку и сравним ординаты в этой точке графика и касательной . Уравнение касательной имеет вид .

Тогда =

Определим на числовой оси знаки второй производной. Из рисунка видно, что вторая производная отрицательна (там функция выпукла) на интервале и положительна на интервале . В точке она меняет знак с (-) на (+), следовательно, эта точка является точкой перегиба (рис. 76).

Дата добавления: 2014-01-20