Дихотомия (метод деления отрезка пополам)

1. Пусть

существует хотя бы один корень на ;

2.

Рассмотрим и . Из этих двух выберем тот, на концах которого функция принимает значения разных знаков и поделим его пополам и т.д.

Если нужно найти корень с точностью до , то мы продолжаем делить отрезок до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше , тогда середина последнего отрезка дает значение корня с требуемой точностью.

Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится всегда для любой непрерывной функции в том числе и недифференцируемой, при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости метода дихотомии не велика, т.е. за одну итерацию точность увеличивается вдвое.

Недостатки: прежде чем применить, необходимо найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Если на этом отрезке несколько корней, то неизвестно к какому из них сходится дихотомия. Метод не применим к корням четной кратности.

Метод применим к корням нечетной кратности, но хуже устойчив к ошибкам округления. Метод не применим к системам уравнений.

§12. Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

ТЕОРЕМА 1. (Принцип Банаха сжимающихся отображений).

Пусть R – полное метрическое пространство. Если сжатие, то для него существует в R единственная неподвижная точка, к которой сходится итерационный процесс.

, где - произвольный.

Дата добавления: 2014-01-20