Геометрический смысл метода Ньютона

Пусть требуется решить уравнение и единственный корень этого уравнения находится на .

В точке проведем касательную к графику функции , уравнение касательной: .

Если , то

– первое приближение к уравнения (1) по методу Ньютона.

Возьмем и проведем касательную в этой точке. Получим .

Если , то

– второе приближение к уравнения (1) по методу Ньютона.

И так далее. Отсюда метод Ньютона называют методом касательных.

§14. Метод хорд. Метод секущих.

По прежнему решаем уравнение (1), где , на и .

Т.е. на (1) имеет только один корень.

Уравнение (1) запишем в виде , где . Возьмем в качестве , где удовлетворяет условию , .

Тогда итерационный метод запишется следующим образом:

– метод хорд.

Докажем, что метод хорд сходится. Для этого необходимо показать, что .

Разложим в ряд Тейлора

.

Рассмотрим при .

.

Обозначим через

Т.е. .

.

Следовательно, – сжатие и по принципу Банаха метод хорд сходится.

Получим оценку погрешности для метода хорд

Так как на , то

.

Обозначим через - оценка погрешности для метода хорд.

Сходимость методы хорд – линейная.

Достоинство метода хорд – легкость программирования на ЭВМ.

– общий вид метода хорд.

Общий вид упростится:

ü При условии , то , ;

ü При условии , то , .

Дата добавления: 2014-01-20