Тема №6. Определенный интеграл

.

2.

Решение: Выделим полный квадрат под корнем в знаменателе.

Делаем подстановку , , dx=dt

Интегралы типа рационализируются заменой переменной

Пример 2. Найти

Решение: Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6, данный интеграл является интегралом типа замена переменной , тогда , , , . Следовательно,

Сделаем замену переменной еще раз

где С₁=С-11

Замечание 1. Многие интегралы можно брать различными методами (например, подстановкой или подведением под знак дифференциала). Интеграл следует брать тем методом, который не создает громоздких вычислений. Рациональный выбор метода интегрирования обусловлен практическим опытом.

Замечание 2. При интегрировании функции различными методами получаются на первый взгляд различные ответы (по форме записи, по виду тригонометрической функции и т.д.). В конечном итоге все эти ответы различаются на постоянную величину, что обусловлено самим понятием неопределенного интеграла, и сводятся друг к другу путем математических преобразований. Данная постоянная величина входит в состав постоянной интегрирования С.

Некоторые интегралы нельзя взять ни одним из рассмотренных методов интегрирования. Это интегралы вида

и другие. Их называют «неберущимися», но они реально существуют, хотя и представляют собой функции другой природы, не приводящиеся к элементарным функциям.

План

1. Понятие определенного интеграла.

2. Формула Ньютона-Лейбница

3. Геометрический и экономический смысл определенного интеграла.

-1-

Пусть на отрезке [a;b] задана непрерывная функция . Фигура, ограниченная графиком функции , осью Ох, прямыми и , называется криволинейной трапецией. Рассмотрим способ определения площади криволинейной трапеции, приводящей к понятию определенного интеграла.

1. Разобьем отрезок [a;b] точками х₀=a,x₁,x₂,…,x_n=b на участки и обозначим каждый участок и его длину .

2. Внутри или на границе каждого выберем точку и обозначим значение функции в этой точке .

3. Составим произведение (с точки зрения геометрии каждое произведение равно площади прямоугольника с высотойи основанием ).

4. Составим сумму этих произведений , которую будем называть интегральной суммой для функции на [a;b]. (С точки зрения геометрии эта сумма площадей прямоугольников, т.е. приближенное значение площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями).

5. Будем искать предел этой суммы при . Если этот предел существует независимо ни от способов разбиения отрезков на участки, ни от выбора точек , то он называется определенным интегралом.

Определение. Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек х₁, х₂… и точек Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на [a;b] и обозначается , а сама функция - называется интегрируемой на отрезке [a;b], т.е.

. (1)

При этом число a называется нижним пределом, число b - верхним пределом; функция f(x) - подынтегральной функцией, выражение f(x)dx - подынтегральным выражением, а задача о нахождении - интегрированием функции f(x) на отрезке [a;b].

Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла:

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы.

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как -представляет семейство функций, есть определенное число.

Установим необходимые и достаточные условия интегрируемости функций.

Дата добавления: 2014-01-20