Теорема 1 (необходимое условие интегрируемости функции)

Если функция интегрируема на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке.

Следующие три теоремы устанавливают достаточные условия интегрируемости.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 3. Если функция монотонна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке.

Теорема 4. Если функция ограничена на отрезке [a;b] и непрерывна во всех точках [a;b], кроме конечного числа точек, в которых она имеет разрыв 1 рода, то эта функция интегрируема на этом отрезке.

-2-

Свойства. Во введенном определении определение интеграла предполагается, что a<b. По определению положим

(2)

Принимая во внимание (2), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

(3)

Предполагая в (2) b=a, получаем или т.е.

Дата добавления: 2014-01-20