Свойства интегрируемых функций

I.Если функция интегрируема в , то и функция и (где ) интегрируемы в .

Доказательство:

Проведём для функции . Так как для любых двух точек и промежутка , имеем: , то и колебание функции в этом промежутке не превосходит . Отсюда

;

так как последняя сумма стремиться к нулю (при ), то первая и подавно, что влечёт интегрируемость функции .

Ч.т.д.

II.Если функции и интегрируемы в , то их сумма, разность и произведение также интегрируемы.

Доказательство:

Ограничимся случаем произведения . Пусть , . Взяв в любые две точки и , рассмотрим разность:

,

Где через и обозначены колебания функций и в .

Но тогда для колебания функции в будем иметь: , откуда: . Так как две последние суммы стремятся к нулю при , то первая и подавно, что и доказывает интегрируемость функции .

Ч.т.д.

III.Если функция интегрируема в , то она интегрируема и в любой части . Наоборот, если разложен на части, и в каждой части в отдельности функция интегрируема, то она интегрируема и во всём промежутке .

Доказательство:

Предположим, что функция интегрируема в , и постоим для этого промежутка сумму , считая, что и входят в состав точек деления. Аналогичная сумма для получиться отсюда, если опустить ряд (положительных) слагаемых; она наверно стремится к нулю, если стремится к нулю первая сумма.

Пусть теперь разложен, скажем, на две части и , , и в каждой из них функция интегрируема. Возьмём снова сумму для ; если точка оказалась в числе точек деления, то названная сумма составится из двух подобных же сумм для и и вместе с ними стремится к нулю.

Заключение. Это остаётся в силе и для случая, когда точка не является точкой деления; присоединив эту точку, мы изменим лишь один член суммы, который сам, очевидно, стремится к нулю.

Ч.т.д.

IV.Если изменить значения интегрируемой функции в конечном числе точек равных , то интегрируемость её не нарушится.

Доказательство очевидно, ибо упомянутые изменения коснутся не более, чем членов суммы .

Дата добавления: 2014-01-20