Замена переменных в двойном интеграле. Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют замену переменных, т.е

Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют замену переменных, т.е. вводятся новые переменные под знаком двойного интеграла.

Определим преобразование независимых переменных x и y (замену переменных) как

и .

(1.5)

Если функции (1.5) имеют в некоторой области плоскости Ouv непрерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля определитель

,

(1.6)

а функция непрерывна в области D, то справедлива формула замены переменных в двойном интеграле:

.

(1.7)

Функциональный определитель (1.6) называется определителем Якоби или якобианом (Г.Якоби – немецкий математик).

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых координат x и y полярными координатами r и φ.

В качестве u и v возьмем полярные координаты r и φ. Они связаны с декартовыми координатами формулами , .

Правые части в этих равенствах – непрерывно дифференцируемые функции. Якобиан преобразования определяется из (1.6) как

.

Формула замены переменных (1.7) принимает вид:

,

где – область в полярной системе координат, соответствующая области D в декартовой системе координат.

Замечание. 1) Для вычисления двойного интеграла в полярных координатах применяют то же правило сведения его к двукратному интегралу.

2) Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная функция имеет вид ; область D есть круг или его часть.

3) На практике переход к полярным координатам осуществляется путем замены , , ; уравнения линий, ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координатам. Преобразование области D в область не выполняют, а, совместив декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы интегрирования по r и φ (исследуя закон изменения r и φ точки при ее отождествлении с точкой области D).

Пример. Вычислить , где область D – круг .

Решение: Применив формулу замены переменных, перейдем к полярным координатам:

.

Рисунок 7

Область D в полярной системе координат определяется неравенствами (см рисунок 7) , . Заметим: область D – круг – преобразуется в область – прямоугольник. Поэтому, имеем:

.

Дата добавления: 2014-01-20