Интегрирование рациональных функций. Лекция 8.2. Интегрирование некоторых элементарных функций

Лекция 8.2. Интегрирование некоторых элементарных функций

План:

1. Интегрирование рациональных функций.

2. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

3. «Неберущиеся» интегралы.

Рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов

где постоянные коэффициенты.

Дробь называется правильной, если степень ее числителя меньше степени ее знаменателя, т.е. в противном случае дробь называется неправильной.

Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Для этого надо разделить числитель на знаменатель по правилу деления многочленов "столбиком».

Например,

Поскольку интегрирование многочлена не составляет никаких трудностей, то задача интегрирования произвольной рациональной дроби сводится к задаче интегрирования правильной рациональной дроби.

Разложение правильной рациональной дроби на простейшие

Простейшими дробями называются правильные рациональные дроби вида:

I. II.

III. , т.е. квадратный трехчлен не имеет корней.

IV.

где действительные числа.

Теорема … Всякая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей.

Например,

где действительные числа, неопределенные (пока!) числа, которые нужно найти (их называют неопределенными коэффициентами). В общем случае число простейших дробей, соответствующих множителю , стоящему в знаменателе, равно k.

Пример. Запишите формулу разложения правильной рациональной дроби на простейшие: а) б) в)

Решение.

а)

б)

в)

Каким образом находятся коэффициенты в разложении правильной дроби на простейшие?

Для нахождения неопределенных коэффициентов применяют или «метод сравнения коэффициентов» или «метод отдельных значений коэффициентов».

Дата добавления: 2014-01-20