Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Понятие определенного интеграла и его свойства




Пусть на отрезке задана непрерывная функция причем для определенности

1) Разобьем отрезок на оси точками

на n произвольных частичных отрезков

Означим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения: где

2) В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку и

3) составим сумму

Данная сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке

4) Если существует конечный предел I интегральной суммы при не зависящий ни от способа разбиения отрезка , ни от выбора точек внутри каждого отрезка, то этот предел называют определенным интегралом от функции по отрезку и обозначается:

Функция называется подынтегральной функцией, выражение подынтегральным выражением, числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, переменной интегрирования.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.

Теорема 2. Если функция кусочно-непрерывна на отрезке , то она интегрируема на нем.

Таким образом, возвращаясь к рассмотренным выше задачам, получаем:

- масса неоднородного стержня длины l вычисляется по формуле

где функция плотности;

- путь, пройденный неравномерно двигающейся точкой за время от до вычисляется по формуле

где функция скорости.

Геометрическая интерпретация определенного интеграла

Пусть на отрезке задана непрерывная функция , причем на .

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная осью , прямыми и графиком функции .

Найдем площадь криволинейной трапеции.

1) Разобьем отрезок на оси точками

на n произвольных частичных отрезков

Означим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения: где

2) В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку и

3) составим сумму

Интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, состоящей из прямоугольников, вписанных в криволинейную трапецию (рис. 36)

 

 

Рис. 36

 

Площадью криволинейной трапеции считают предел площадей ступенчатых фигур, получаемых при неограниченном увеличении n числа точек дробления отрезка и при условии, что

Таким образом, геометрически интеграл от непрерывной неотрицательной на отрезке функции есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями осью и графиком функции :

Определенный интеграл обладает рядом свойств, аналогичных свойствам неопределенного интеграла, другие справедливы только для него.

Основные свойства определенного интеграла

Будем считать, что функция непрерывна на .

1. Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

2.

3. При перестановке местами пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на противоположный:

4. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям, т.е. имеет место равенство: если

5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

6. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых, т.е. (для двух функций):

7. Теорема о среднем. Если непрерывна на , то существует такое число что

8. Определенный интеграл зависит только от вида функции и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначить любой буквой:

Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы неудобно и трудоемко. Поэтому целесообразно указать более удобный и эффективный способ вычисления определенного интеграла. Основан он на связи неопределенного и определенного интеграла и выражается в формуле Ньютона-Лейбница.

 

3. Формула Ньютона – Лейбница и основные методы нахождения определенного интеграла

Теорема. Если есть первообразная для непрерывной на отрезке функции , то справедлива формула

т.е. определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений первообразной от верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Данное равенство называют формулой Ньютона-Лейбница.

Итак, задача вычисления определенного интеграла сводиться в первую очередь к задаче нахождения неопределенного интеграла, а, следовательно, основана на использовании свойств, таблиц и методов, приведенных для неопределенного интеграла.

Пример

а)

б)

в)

Тесная связь между определенным и неопределенным интегралом позволяет сделать вывод о том, что при вычислении определенного интеграла можно пользоваться теми же методами интегрирования. Но существуют и особенности при использовании этих методов для определенных интегралов.

 

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть функции и имеют непрерывные производные на промежутке . Тогда, справедлива следующая формула:

 

Эта формула называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 8.10. Вычислить интеграл

Решение.

Метод замены переменной в определенном интеграле

 

Метод замены переменной в определенном интеграле основан на следующей теореме.

Теорема 8.6. Пусть непрерывна на отрезке и пусть

1) функция монотонна, непрерывна и имеет непрерывную производную, когда t меняется от до ;

2) и

тогда справедлива формула

Даная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Из формулы видно, что при замене переменной в определенном интеграле подынтегральное выражение преобразуется так же, как и в неопределенном, но при этом в отличие от неопределенного интеграла преобразуются и пределы интегрирования.

Замечание 1. В практике интегрирования применяются подстановки вида , т.е. новая переменная интегрирования вводится как некоторая функция переменной х, а новые пределы интегрирования определяются из формул: и

Замечание 2. При нахождении определенного интеграла методом замены переменной нет необходимости возвращаться к старой переменной.

Пример 8.11. Вычислить интеграл

Решение.

Лекция 8.4. Приложения определенного интеграла

План:

1. Понятие несобственного интеграла первого рода и его нахождение.

2. Понятие несобственного интеграла второго рода.

3. Приложения определенного интеграла.

Определяя понятие определенного интеграла, как предела интегральных сумм, предполагалось, что 1) отрезок интегрирования конечный; 2) подынтегральная функция непрерывна на этом отрезке. Если, хотя бы одно из условий не выполнено, то данное определение теряет смысл. Так, в случае бесконечного отрезка интегрирования, нельзя разбить отрезок на частей конечной длины, а в случае разрывной функции интегральная сумма не имеет конечного предела. Тогда и появляется понятие несобственного интеграла первого рода и несобственного интеграла второго рода.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-20; Просмотров: 1002; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.032 сек.