Удлинение стержня и закон Гука

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко за­деланным, и другим - свободным, к которому приложена централь­ная продольная сила Р (рис. 3.2). До нагружения стержня его длина равнялась l -после нагружения она стала равной l + D l (рис. 3.2). Величину D l называют абсолютным удлинением стержня.

Рис. 3.2

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых ус­ловиях, деформация e остается одной и той же по длине стержня и равной

. (3.1)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряжен­ное состояние, то для определения его абсолютного удлинения не­обходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 3.2). При растяжении он увеличит свою длину на величину D dz и его деформация составит:

. (3.2)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде:

s = E e. (3.3)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода. Из совместного рассмотрения уравнений (3.2) и (3.3) получим:

,

откуда с учетом того, что

и ,

окончательно получим:

. (3.4)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение F = const и нагружен по концам силой Р, то из (3.4) получим

. (3.5)

При решении многих практических задач возникает необходи­мость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механи­ческих нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные темпера­турным воздействием. В этом случае пользуются принципом неза­висимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:

, (3.6)

где a - коэффициент температурного расширения материала; t -пе­репад температуры тела. Для однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого по длине, получим:

. (3.7)

Дата добавления: 2014-01-20