Метод Гаусса

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных. Решается метод Гаусса и с исходной системой линейных уравнений, и с её матричным представлением (что очень удобно).

Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими (в частности с методом по формулам Крамера и с методом, с использованием обратной матрицы):

1 значительно менее трудоемкий;

2 позволяет однозначно установить, совместна система или нет, а в случае совместности найти её решения (единственное или бесконечное множество);

3 даёт возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений — ранг матрицы системы.

Метод Гаусса сводится к следующей схеме:

Выписывают расширенную матрицу системы, которая представляет собой матрицу коэффициентов А, дополненную вектором-столбцом свободных членов. Последний для удобства отделяется чертой. Затем над строками расширенной матрицы производят элементарные преобразо­вания: разрешается изменять порядок строк (соответствует изменению по­рядка уравнений); умножать строки на отличные от нуля числа (отвечает умножению соответствующих уравнений на эти числа); прибавлять к лю­бой строке расширенной матрицы любую другую ее строку, умноженную на число (со­ответствует прибавлению к одному из уравнений системы другого уравне­ния, умноженного на это число).

С помощью таких преобразований каждый раз получается расширен­ная матрица новой системы, равносильная исходной. При этом стараются привести матрицу к «треугольному» виду, из которого решение системы находится непосредственно, а именно:

Последняя строка матрицы соответствует уравнению d_mnx_n = c_n. Откуда находят х_n.

Далее из предпоследней строки выписываем уравнение, в которое подставляем найденное решение х_n и находим х_{n -1}. Таким образом, находится вся совокупность n значений неизвестных.

Дата добавления: 2014-01-11