Метод замены переменной. Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

1. 2.

3. Если непрерывная функция при, то .

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем замену переменной; для этого промежуточный аргумент обозначим буквой : , тогда . Найдем новые пределы интегрирования: , . Получим

.

Метод интегрирования по частям. Имеет место следующая формула интегрирования по частям:

.

Геометрический смысл определенного интеграла. Определенный интеграл равен площади фигуры, ограниченной частью графика функции , осью и прямыми и (рис. 1): .

Площадь фигуры, ограниченной непрерывными кривыми , и прямыми (рис. 2), вычисляется по формуле

.

Рис. 1

Рис. 2

II. Основные понятия теории вероятностей

Испытание и событие − это основные понятия теории вероятностей.

Испытание − опыт, наблюдение, эксперимент, реализация определенного комплекса условий.

Событие − результат, исход испытания.

События

1. Достоверное (U) − обязательно произойдет.

2. Невозможное (V) − заведомо не произойдет.

3. Случайное (A,B,C…) − может либо произойти, либо не произойти.

Виды случайных событий

Определение 1. Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются несовместными.

Определение 2. Два события A и B называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит.

Обозначение: , .

Определение 3. Несколько событий образуют полную группу, если появление одного и только одного из них в результате испытания является достоверным событием.

Классическое определение вероятности

Несколько событий, связанных с данным испытанием называются элементарными исходами испытания, если:

1) эти события образуют полную группу, т.е. при каждом осуществлении опыта наступает одно и только одно из них;

2) эти события являются равновозможными.

Те элементарные исходы, при которых событие A наступает, называются благоприятствующими событию A.

Определение. Вероятностью события A называется отношение числа m элементарных исходов, благоприятствующих событию A, к общему числу n всевозможных элементарных исходов испытания.

Свойства вероятности

1⁰ .Вероятность случайного события есть неотрицательное число, заключенное между нулем и единицей:

2⁰. Вероятность достоверного события равна 1.

3⁰. Вероятность невозможного события равна 0.

Статистическое определение вероятности

Пусть произведено N испытаний, при этом событие A наступило ровно M раз. Отношение называется относительной частотой события A и обозначается . За вероятность события A принимается число, около которого группируются наблюдаемые значения относительной частоты: .

Дата добавления: 2014-01-11