Оптимизация портфеля ценных бумаг

Пусть мы имеем портфель ценных бумаг из n-составляющих, эффективность каждого i-го равняется R_i c M_Ri = m_i и D_Ri = σ_i².

Матрица ковариации представляет собой матрицу, состоящую из коэффициентов ковариации между отдельными видами эффективности ценных бумаг.

B=||cov(R_i, R_j)||

cov(R_i, R_j)=DR_j

Коэффициент ковариации показывает степень тесноты связи между двумя случайными процессами, если коэффициент ковариации равен 1, то случайные процессы имеют очень тесную связь между собой.

Если коэффициент корреляции r =-1, то связь тоже очень тесная, но обратно, если r =0, то связи нет.

Инвестор распределяет свой капитал Q_j.

0≤Q_i≤1

Эффективность сформирования портфеля R_p

R_p=

Такая связь имеет математическое ожидание

MR_p=M(

Портфельная дисперсия

Соотношения между Q_i называются структурной составляющей портфеля ценных бумаг. Оставив за инвестором право выбора средней эффективности, поможем ему минимизировать неопределенность; исходя из этого, получаем систему уравнений

min

b_i,j=cov(R_i,R_j)

- уравнение эффективности.

, Q_i≥0

- система ограничений, где m_p – выбранное значение эффективности портфеля.

Математически данная задача предусматривает собой минимизацию квадратичной формы от n переменных Q_i, связанных между собой соотношениями и условиями; α решается методами квадратичного программирования. Если не рассматривать условие, получаем задачу Марковица, решение α рассмотрим ниже:

L(Q₁, …Q_n, λ, μ)=

, l=1,n (*)

Производные по λ и μ приводят к системе ограничений, следовательно, для разрешения выражения (*) получаем систему из n+2 уравнений. Запишем полученное уравнение в матричной форме:

e=; Q=; m=;

m^T=(m₁…m_n);

Q^T=(Q₁…Q_n)

Уравнение Лагранжа примет вид:

Предположим, что между эффективностями R₁ …R_n нет линейной связи, следовательно, ковариационная матрица В не вырождена, т.е. ее определитель Δ≠0 и, следовательно, существует В^-1. Используя это обстоятельство, решим уравнение в матричной форме

Q= (*)

Подставим данное выражение в условие ограничений

Решая систему уравнений методом Крамера, находим:

Подставив это решение в выражение для Q(*), получим следующую структуру оптимального портфеля.

Q^*=

Можем наиминимальную дисперсию:

(σ_p^*)²=Q^*TBQ^*=

Если эффективности не коррелированны, то ковариационная матрица диагональна

B=

Поэтому обратная к ней матрица тоже диагональна

B^-1=

В таком случае выражение для оптимальной структуры и соответствующей ей дисперсий существенно упрощается. Вычислим некоторые составляющие, часто встречающиеся в этих выражениях.

e^TBe=

Назовем следующие естественные предположения:

1. Все эффективности ценных бумаг различны, т. е. из двух ценных бумаг с одинаковой эффективностью инвестор выберет бумагу с наименьшей дисперсией, в соответствие с этим проранжируем ценные бумаги в порядке убывания их средней эффективности т₁>m₂>…>m_n;

2. Более высоким средним эффективностям отсутствует большая дисперсия, это также естественно, т. к. из двух ценных бумаг одна из a имеет большую дисперсию, инвестор выберет всегда первую. Докажем, что в знаменателе выражений оптимального портфеля и соответствующей ему дисперсии стоит положительное число

Аналогично докажем положительный знак числителя:

Дисперсия оптимального портфеля

(σ_p^*)²=Q^*TBQ^*=

При отсутствии корреляции между эффективностями:

B^-1e=; B^-1m=

Исходя из этого, выражение для оптимального портфеля принимает вид:

l=1,…n

Анализируя приведенное выражение, видно, что оно может содержать отрицательные элементы. В таком случае следует проводить перерасчет, последовательно исключая из портфеля наибольшие по модулю отрицательные компоненты.

m_p – математическое ожидание портфеля.

Задача. Инвестор может составить портфель из трех видов ценных бумаг; эффективности a R₁, R₂, R₃, причем эти эффективности являются некоррелируемыми случайными величинами, имеющими следующие m_x,

MR₁=11 s₁ =4

MR₂=10 s₂ =3

MR₃= 9 s₃ =1

MR_P=10

Необходимо найти такое соотношение Q₁, Q₂, Q₃ для любого из a>0 и сумма Q_n=1, при a

MR_p=

И при этом иметь min d_x

Имеем систему уравнений

Отбросим условие не отрицательности элементов. Для данной системы уравнений можно составить уравнение Лагранжа:

Дата добавления: 2014-01-11