Третий признак сравнения

Пусть даны два положительных ряда (А) и (В). Если, начиная с некоторого номера, , то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство

Будем считать, не умаляя общности, что для . Тогда:

…, .

Перемножая почленно эти неравенства, получим: .

Пусть ряд (В) сходится, вместе с ним будет сходится ряд (теорема 1 § 2), а тогда по первому признаку сравнения сходится и ряд (А).

Если же ряд (А) расходится, то по первому признаку сравнения расходится и ряд , а вследствие того, что , ряд также расходится (легко следует от противного).

Примеры. Исследовать на сходимость ряды: 1) , ; 2) ;

3) .

1) Отметим, что при для ряда не выполнен необходимый признак сходимости и ряд расходится. Пусть . Сравним гармонический ряд с рядом , используя второй признак сравнения: - ряды сходятся или расходятся одновременно. Но и частичная сумма этого ряда при . Следовательно, ряд расходится. Пусть теперь . Тогда и по первому признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость ряда при . Итак, данный ряд расходится.

2) Так как , то и по первому признаку сравнения данный ряд сходится.

3) Сравним данный ряд с рядом , для которого .

По формуле конечных приращений Лагранжа имеем: , где . Но и исследуемый ряд расходится по первому признаку сравнения.

На признаках сравнения непосредственно основаны два очень употребительных метода исследования сходимости положительных рядов.

Дата добавления: 2014-01-11