Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Третий признак сравнения

Пусть даны два положительных ряда (А) и (В). Если, начиная с некоторого номера, , то из сходимости ряда (В) вытекает сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).

Доказательство

Будем считать, не умаляя общности, что для . Тогда:

…, .

Перемножая почленно эти неравенства, получим: .

Пусть ряд (В) сходится, вместе с ним будет сходится ряд (теорема 1 § 2), а тогда по первому признаку сравнения сходится и ряд (А).

Если же ряд (А) расходится, то по первому признаку сравнения расходится и ряд , а вследствие того, что , ряд также расходится (легко следует от противного).

Примеры. Исследовать на сходимость ряды: 1) , ; 2) ;

3) .

1) Отметим, что при для ряда не выполнен необходимый признак сходимости и ряд расходится. Пусть . Сравним гармонический ряд с рядом , используя второй признак сравнения: - ряды сходятся или расходятся одновременно. Но и частичная сумма этого ряда при . Следовательно, ряд расходится. Пусть теперь . Тогда и по первому признаку сравнения из расходимости гармонического ряда следует расходимость ряда при . Итак, данный ряд расходится.

2) Так как , то и по первому признаку сравнения данный ряд сходится.

3) Сравним данный ряд с рядом , для которого .

По формуле конечных приращений Лагранжа имеем: , где . Но и исследуемый ряд расходится по первому признаку сравнения.

На признаках сравнения непосредственно основаны два очень употребительных метода исследования сходимости положительных рядов.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Второй признак сравнения | Признак Даламбера. Рассмотрим ряд с положительными членами ,
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-11; Просмотров: 390; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.012 сек.