Координаты на проективной плоскости

Пусть некоторый вектор порождает в проективной плоскости точку Х. В системе координат вектор можно выразить через базисные векторы .

Но так как векторы порождают проективную плоскость и проективную систему координат, то числа называются проективными координатами точки Х в проективном репере.

Х не является нулевым вектором, поэтому все его координаты не равны нулю, а, значит, координаты точки Х одновременно не могут равняться нулю.

Определение 2.5. Проективными координатами точки на проективной прямой (проективной плоскости) относительно проективного репера называют координаты вектора, порождающего данную точку, относительно базиса векторного пространства, согласованного с репером .

Свойства координат:

1) В проективном пространстве точка имеет к+1 координату;

2) Нет точки с нулевыми координатами;

3) Координаты – однородный набор чисел, поэтому они определяются с точностью до числового множителя;

4) Пропорциональные наборы определяют одну и ту же проективную точку.

Лемма 2.6. Если однородный набор является координатами некоторой точки Х в репере R, а система векторов () является согласованной относительно этого репера, то вектор также порождает точку Х, следовательно, Х=λУ (они порождают одну и ту же точку).

Задача: построить точку относительно проективного репера .

Теорема 2.7. (о принадлежности трёх точек одной прямой)

Три проективные точки Х, У, Z, заданные своими координатами

, принадлежат одной прямой тогда и только тогда, когда

Доказательство

1) Пусть задан репер , его векторы согласованы относительно R. Отсюда следует, что вектор порождает точку Х, - У, – Z;

2) Для того, чтобы точки Х, У, Z лежали на одной прямой необходимо, чтобы векторы , , располагались в одной плоскости аффинного пространства, т.е. они компланарны, а, значит, определитель

Дата добавления: 2014-01-11