Проекция проективной точки на координатные прямые

Пусть задан репер R = (A₁, A₂, A₃, E) и Х – произвольная точка проективного пространства, Х₃ = (A₃X) ∩ (A₁A₂).

R₁ = (A₂, A₃, Е₁),

R₂ = (A₁, A₃, Е₂),

R₃=(A₁,A₂,Е₃) – проективные реперы.

Теорема 2.8. (о координатах проекции точки на координатную прямую)

Если произвольная точка Х (х₁: х₂: х₃), не совпадающая с A₃, в репере R спроецирована на прямую (A₁A₂), то в репере R₃ её проекция Х ₃ будет иметь координаты (х₁: х₂).

Доказательство

1. Т.к. точка Х₃ принадлежит прямой (А₁А₂), то в репере она имеет координаты (y₁: y₂: 0). Точки A₃, X₃, X коллинеарны. Следовательно,

2. Т.к. точка Е₃ принадлежит прямой (А₁А₂), то в репере она имеет координаты (z₁: z₂: 0). Точки А₃, Е, Е₃ коллинеарны. Следовательно,

3. Пусть некоторая согласованная система векторов порождает проективный репер R, вектор - точку Х₃, вектор - точку Е₃. Тогда имеем: (*), (**)

Из равенства (**) следует, что система векторов согласована относительно репера R₃. Тогда из равенства (*) получаем, что вектор имеет координаты (х₁, х₂). Значит, точка Х₃ имеет координаты (х₁: х₂) в репере R₃.

Дата добавления: 2014-01-11