Аналитическое выражение проективного преобразования плоскости

Пусть дано проективное преобразование , заданное парой реперов и . Точка - произвольная точка в репере , точка - образ точки при преобразовании .

Пусть , тогда . Обозначим координаты точки относительно репера . Найдем связь координат точки в двух проективных реперах: для этого воспользуемся формулами перехода от репера к реперу (лекция 2), причем - новые координаты точки , а

- старые координаты этой точки. Получим:

Это и есть формулы проективного преобразования плоскости.

- матрица проективных преобразований. Определитель матрицы отличен от нуля, так как точки не лежат на одной прямой.

На расширенной аффинной (или евклидовой) плоскости можно ввести неоднородные координаты. Воспользовавшись формулами , имеем: . Тогда формулы проективных преобразований плоскости в неоднородных координатах примут следующий вид: , .

Пусть - проективное отображение прямой на прямую . - проективный репер на прямой , - проективный репер на прямой .

Определение 6.3. Отображение прямой на прямую , которое каждой точке прямой , имеющей в репере координаты , ставит в соответствие точку , принадлежащую прямой с теми же координатами в репере , называется проективным.

Если , то - проективное преобразование, то есть проективное отображение прямой на себя также называется проективным преобразованием.

По аналогии с нахождением формул проективных преобразований плоскости можно получить формулы проективных преобразований прямой: . Определитель матрицы, составленной из коэффициентов правых частей данных формул проективных преобразований на прямой, отличен от нуля. На расширенной аффинной (или евклидовой) прямой, введя неоднородные координаты, имеем следующую формулу: .

Определение 6.4. Проективное преобразование прямой называется инволюцией, если оно совпадает со своим обратным преобразованием.

Дата добавления: 2014-01-11