Простори інформаційних сигналів

При дослідженні властивостей та характеристик сигналів в задачах вимірювань виникають задачі порівняння сигналів, їх додавання, множення на деякий масштабний коефіцієнт та інші перетворення. Тому виникає необхідність в об’єднанні сигналів, які мають однакові або близькі за характером властивості, в більш загальну форму – простори сигналів.

Простори математичних моделей сигналів вводяться як простори математичних об’єктів в математиці.

Під простором в сучасній математиці розуміється множина будь-яких об’ємів (ними можуть бути послідовності чисел, функцій, об’єднання функцій), між якими встановленні певні співвідношення, наприклад за аналогією з тривимірним простором, в якому справедливі аксіоми евклідової геометрії.

Розглянемо простори, що знайшли широке застосування при дослідженнях сигналів.

Наведемо приклади просторів сигналів, які знайшли практичне застосування в задачах вимірювань.

Лінійний простір сигналів. Припускаємо, що є непуста множина сигналів, яка може мати як скінченне, так і зліченне (нескінченне) число сигналів.

Множина називається лінійним або векторним простором сигналів, якщо вона задовольняє таким умовам:

1. Яким завгодно двом сигналам і однозначно відповідає третій сигнал , який називається їх сумою , причому:

а) (комутативність);

б) (асоціативність);

в) в є такий сигнал 0, що для всіх (наявність нульового сигналу);

г) для кожного існує такий сигнал - , що (наявність протилежного сигналу).

2. Для будь-якого числа α і будь-якого сигналу існує сигнал (добуток сигналу на масштабний коефіцієнт α), при цьому:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

В залежності від того, дійсні чи комплексні значення приймають сигнали, розглядають дійсний або комплексний простір сигналів.

Важливим поняттям в лінійному просторі сигналів є лінійна незалежність сигналів.

Система називається лінійно незалежною, якщо рівняння

(2.4)

існує тільки за умови, що всі числа . В інших випадках система сигналів буде лінійно залежною.

Відзначимо, що зліченна (нескінченна) система сигналів називається лінійно незалежною, якщо будь-яка її скінченна послідовність є лінійно незалежною.

Важлива роль при визначенні характеристик систем сигналів у лінійному просторі належить скалярному добутку сигналів , який має такі властивості:

;

; (2.5)

;

,

при цьому тільки тоді, коли при всіх .

Скалярний добуток у дійсному лінійному просторі визначається співвідношенням:

(2.6)

При порівняльному аналізі в лінійному просторі вводять норму сигналу, яка може служити аналогом довжини вектора при геометричній трактовці. Норма сигналу , позначена символом і вводиться як деякий скінченний функціонал у лінійному просторі і задовольняє умовам:

а) норма сигналу невід’ємна, тобто , тобто при цьому тільки при при всіх ;

б) для будь-якого числа , як комплексного, так і дійсного;

в) якщо , то виконується нерівність .

Лінійний нормований простір сигналів. Лінійний простір сигналів, в якому введена норма, називається нормованим. Норму сигналів в такому просторі можна ввести різними способами. Так, для сигналу можна ввести норму, визначену виразом

(2.7)

Квадрат цієї норми визначає потужність сигналу .

Друге визначення норми сигналу

(2.8)

дає можливість визначити енергію сигналу на довільному інтервалі часу .

При дослідженні сигналів на всій осі часу виділяють підмножину сигналів з скінченною потужністю і скінченною енергією.

Ці важливі для практичних задач вимірювань підмножини сигналів відіграють принципову роль.

Метричний простір сигналів. Перейдемо до розгляду метричного простору.

При порівняльному аналізі сигналів у просторах сигналів вводять поняття метрики або відстані між елементами простору та . Таке поняття аналогічне відстані на прямій, площі на двовимірній площині або об’єму в тривимірному просторі і має такі властивості:

1) метрика завжди невід’ємна і дорівнює нулю лише між збіжними точками, тобто коли ;

2) дві точки, між якими визначають метрику , рівноправні, тобто відстань між і дорівнює відстані між і .

3) відстань між двома точками і не повинна бути більша за відстань, визначену між ними через третю точку (правило трикутника) для .

Простір називається метричним, якщо він складається з деякої множини сигналів і відстані між ними , що відзначається однозначною, невід’ємною дійсною функцією для будь-яких і , для якої виконується три аксіоми:

, при цьому =0 тільки тоді, коли ;

=(аксіома симетрії) (2.9)

(аксіома трикутника)

Функція називається також метрикою. Її вводять як норму різниці двох сигналів

(2.10)

Норма, в свою чергу,визначається як відстань між досліджуваним сигналом і нульовим елементом , тобто

(2.11)

В ряді випадків задач вимірювань метрика дозволяє визначити, наскільки точно досліджуваний сигнал можна зобразити комбінацією інших сигналів, тобто розв’язати задачу апроксимації сигналу.

Гільбертів простір. Розглянемо гільбертів простір, названий за ім’ям німецького математика Д.Гільберта (1862-1943).

Нескінченний лінійний простір називається гільбертовим, якщо кожній парі елементів і із , поставлений у відповідність скалярний добуток , що задовольняє умові

. (2.12)

В теорії сигналів гільбертів простір є простором сигналів зі скінченною енергією разом із сигналами, що задані на всій осі часу . Усякий гільбертів простір є нормованим,і норма в ньому визначається таким чином:

, (2.13)

та метричним

(2.14)

Як приклад можна навести графічну ілюстративну схему розглянутих вище просторів сигналів, яка дає не кількісне їх співвідношення, а якісну картину (рис. 2.6).

Рис. 2.6. Графічна ілюстрація просторів інформаційних сигналів

Розглянемо конкретні види інформаційних сигналів і їх характеристики (параметри) для вимірювань.

Дата добавления: 2014-01-11