Решетчатые функции, разностные уравнения и дискретное преобразование Лапласа

Основные понятия и классификация

Если хотя бы один из сигналов в замкнутом контуре системы автоматического управления (САУ) подвергается дискретизации (квантованию), то такая система будет относиться к классу дискретных САУ. Различают квантование сигнала по времени, по уровню и одновременно по времени и уровню. Соответственно дискретные САУ делятся на импульсные, релейные и цифровые. Дискретизация в импульсных САУ обычно осуществляется устройствами, называемыми импульсными элементами ИЭ (модуляторами), в релейных - устройствами, имеющими релейные характеристики (реле), а в цифровых - аналого-цифровыми или цифро-аналоговыми преобразователями. Класс релейных систем рассмотрен в разделе 2, т.к. методы исследования релейных систем базируется на теории и методах исследования нелинейных непрерывных САУ. В данном разделе будем рассматривать импульсные и цифровые САУ.

На вход ИЭ поступает непрерывный сигнал , на выходе имеем импульсный сигнал в виде модулированной последовательности прямоугольных импульсов. Параметрами импульсной последовательности, которые подвергаются модуляции, являются ширина , высота и период (частота ). Соответственно различают амплитудно-импульсную (АИМ), широтно-импульсную (ШИМ) и частотно-импульсную (ЧИМ) модуляции. Наиболее широко используется АИМ и ШИМ. Кроме этого, различают модуляцию 1-ого и 2-ого рода. Обозначим произвольный момент квантования сигнала через , ,…, тогда при модуляции 1-ого рода законы модуляции будут

, , , (1.1)

где - некоторые функции.

Таким образом, при модуляции 1-ого рода значение модулированного параметра в -й момент времени определяется значением входного сигнала в этот же момент времени .

Если функции в (1.1) являются линейными относительно , то будем иметь линейный ИЭ и линейные законы модуляции. Если модулируемый параметр, зависит от значений входного сигнала на некотором интервале времени , часто предшествующем моменту , то имеем случай модуляции 2-ого рода. При этом вместо функций обычно фигурируют некоторые функционалы. Например, зависимость

, (1.2)

характеризует так называемую пороговую ШИМ 2-ого рода, где -порог срабатывания модулятора.

Классификацию импульсных САУ по виду модуляции закончим еще одним разделением их на два класса: если все элементы САУ (в том числе и ИЭ) описываются линейными уравнениями, то такую САУ будем называть линейной. Если хотя бы один элемент (в том числе и ИЭ) описывается нелинейными уравнениями, то такую САУ будем относить к классу нелинейных.

Основой общей теории дискретных САУ является теория линейных импульсных систем с АИМ-1 (амплитудно-импульсной модуляцией 1-ого рода), в которой все звенья системы описываются линейными дифференциальными уравнениями или передаточными функциями, а ИЭ осуществляет линейную модуляцию 1-ого рода. Базовая структура линейной стационарной импульсной САУ, к которой можно во многих случаях свести реальную структуру и которая будет являться предметом дальнейшего рассмотрения, представлена на рис. 1.3, где ЛНЧ - линейная непрерывная часть системы, , - выход и вход системы, - сигнал ошибки, - последовательность прямоугольных импульсов, модулированных по амплитуде.

Рис. 1.3

Будем полагать, что ЛНЧ описывается передаточной функцией , а ИЭ является линейным, характеризуется постоянными параметрами: длительностью импульсов , периодом повторения , коэффициентом передачи (усиления) и законом линейной АИМ-1

, (1.3)

причем переменные , , , являются непрерывными функциями времени. В дальнейшем можно полагать . Если , то его можно отнести к ЛНЧ.

Связь координат , , , можно записать в операторной форме

, . (1.4)

Уравнения (1.3), (1.4) можно интерпретировать как модель импульсной САУ. Неудобство модели в том, что ряд координат являются непрерывными функциями времени, а другие определены для дискретных моментов времени или .

Основой математической теории описания процессов в импульсных системах является аппарат решетчатых функций и разностных уравнений.

Решетчатой функцией будем называть функцию, определенную для целочисленных значений аргумента (, 1, …). Впредь будем рассматривать или как дискретное время. Для ШИМ и АИМ , поэтому функции будем обозначать или . Решетчатые функции часто получаются из непрерывных при замене .

Аналогом производных непрерывных функций для решетчатых функций являются конечные разности. Конечная разность первого порядка (первая разность) для решетчатой функции обозначается и определяется выражением

. (1.5)

Вторая разность определяется как

и т.д. .

Аналогом операции интегрирования для решетчатой функции является операция суммирования

.

Очевидна связь , а функция называется первообразной для решетчатой функции .

Аналогом дифференциальных уравнений непрерывных функций для решетчатых функций являются разностные уравнения, связывающие функцию с ее разностями , …, , или разностные уравнения, связывающие функцию с ее значениями , …,. В дальнейшем будем рассматривать второй вариант разностных уравнений.

Линейные импульсные системы описываются линейными разностными уравнениями следующего вида:

, (1.6)

где - заданная функция (вход), - искомая функция (решение разностного уравнения, выход), , - постоянные коэффициенты, при этом чаще всего .

Величина , 2, … определяет порядок разностного уравнения. Для полного задания при нахождении решения кроме вида функции следует задать начальные условия искомого решения , ,…, .

В случае непрерывных систем [1], описываемых линейными дифференциальными уравнениями, в теории автоматического управления широкое распространение находят методы исследования, базирующиеся на преобразованиях Лапласа и Фурье, где функция непрерывного аргумента преобразуется в функцию комплексной переменной с помощью преобразования Лапласа

{},

где - символ прямого преобразования Лапласа, -оригинал, - изображение. Существует обратный переход от к , т.е.{}, где - символ обратного преобразования Лапласа.

Аналогом преобразования Лапласа для решетчатых функций является дискретное преобразование Лапласа или -преобразование, определяемое соотношениями

{}=,

(1.7)

{}=,

где - решетчатая функция (оригинал), - изображение, - комплексная переменная, а и - соответственно символы прямого и обратного -преобразования.

В литературе (например, [6]) приводятся таблицы соответствия между и . Например, если - единичная ступенчатая решетчатая функция, то . Там же достаточно подробно рассматриваются свойства -преобразования. Например, если , где , - постоянные, то (свойство линейности).

Другое свойство: пусть {}, тогда при условии, что , …, (теорема смещения).

Если применить - преобразование к разностному уравнению (1.6), то с учетом вышеприведенных свойств нетрудно получить алгебраическиe уравнения относительно изображений:

, (1.8)

. (1.9)

Функция комплексной переменной

(1.10)

называется передаточной функцией и определяется как отношение изображений выхода ко входу при нулевых начальных условиях переменных , .

Наряду с решетчатыми функциями используются смещенные решетчатые функции, которые получаются из непрерывной функции при замене и обозначаются или в сокращенной записи , где - параметр смещения. Уравнение (6) также можно записать относительно смещенных решетчатых функций, т.е. будем иметь разностное уравнение со смещенными аргументом.

Для смещенных решетчатых функций преобразование (1.7) будет иметь вид

, (1.11)

т.е. изображение будет зависеть от параметра . При (1.7) и (1.11) совпадают.

Итак, в рамках изложенного можно говорить о функциях: непрерывной , решетчатой , смещенной решетчатой и соответственно об изображениях: , и .

Существует однозначная связь между перечисленными функциями и изображениями [6]. Эти соотношения для наиболее употребительных функций приведены в табл.1.1. -преобразование получается из последнего столбца при .

Таблица 1.1

Непрерывная функция	Решетчатая функция	преобразование для
			,

Отметим, что в литературе наряду с дискретным преобразованием Лапласа в форме -преобразования используется так называемое -преобразование, получаемое из (1.7), (1.11) заменой , т.е. изображения будут функциями комплексной переменной . Очевидно, свойства - и -преобразований во многом идентичны.

Решение разностного уравнения (1.8) при нулевых начальных условиях с использованием -преобразования имеет следующий алгоритм:

- по уравнению (1.8) находим передаточную функцию ;

- задавая вход ,находим по таблицам изображение функции ;

- перемножая и ,находим изображение , которое обычно будет иметь вид , где и полиномы относительно ;

- сложную дробно-рациональную функцию представляем в виде суммы простейших дробей первой степени

;

- переходим от изображения к оригиналу

,

где находим по таблицам.

Пример 1.1. Найти решение разностного уравнения при нулевом начальном значении и воздействии вида единичной ступенчатой функции .

Находим , , .

Представим в виде следующей суммы .

Из табл. 1.1 , , тогда решение будет иметь вид

.

Дата добавления: 2014-01-11