Описание разомкнутых импульсных систем

Структура разомкнутой импульсной системы приведена на рис. 1.4.

Рис. 1.4

Линейная непрерывная часть системы характеризуется передаточной функцией , а импульсный элемент законом модуляции и постоянными значениями величин и . Заметим, что сигналы и непрерывные, а - последовательность прямоугольных импульсов, модулированных по амплитуде.

Рассмотрим получение разностного уравнения на простейшем примере. Пусть , тогда и связаны дифференциальным уравнением , которое легко решается.

Обозначим значение координаты в произвольный момент времени квантования через , тогда на интервале действия -ого импульса и закон изменения выхода будет

, . (1.12)

Найдем закон изменения на интервале паузы в -ом периоде, когда . Он будет иметь вид

. (1.13)

Полагая в (1.12) , найдем , подставим в (1.13) и после преобразований будем иметь

, . (1.14)

Положим в (1.14) и, обозначая , , будем иметь

, (1.15)

где , .

Итак, связь и в дискретные моменты времени описывается линейным разностным уравнением первого порядка (частный случай (1.6)), коэффициенты которого и определены через параметры ИЭ и ЛНЧ.

Аналогично, можно получить разностное уравнение при , т.е. для смещенных решетчатых функций .

Применяя к (1.15) -преобразование, найдем для данного случая передаточную функцию

,. (1.16)

Для простейших случаев передаточных функций можно по этой методике получить дискретные передаточные функции разомкнутой системы. Ниже приведем таблицу для трех вариантов передаточной функции .

Таблица 1.2

Если передаточная функция имеет более высокий порядок, но может быть представлена в виде суммы передаточных функций простейшего типа, то в этом случае находя по табл. 1.2 , можно получить общую передаточную функцию разомкнутой системы

.

Рассмотрим другой способ получения передаточной функции разомкнутой системы, излагаемый практически в любом учебнике. Структура на рис. 1.4 может быть представлена в виде, изображенном на рис. 1.5, а.

Рис.1.5

На рис. 1.5, а импульсный элемент представлен в виде идеального элемента (ИИЭ) или ключа и формирующего устройства (ФУ). Ключ периодически замыкается с периодом и формирует последовательность импульсов в виде -функций, площадь которых равна . ФУ формирует последовательность прямоугольных импульсов , амплитуда которых равна .

По определению - функция описывается так:

.

Разумеется, физически ИИЭ не существует, однако такое математическое представление ИЭ отражает физику процессов в исходной структуре рис.1.3. Объединяя передаточные функции и , приходим к структуре рис.1.5, б, где ЭЛНЧ – эквивалентная линейная непрерывная часть с передаточной функцией . В случае прямоугольных импульсов имеет вид

, (1.17)

где .

Если , , то такое формирующее устройство называют фиксатором или экстраполятором нулевого порядка.

Если рассматривать для , т.е. и ввести изображения решетчатых функций , , то связь входа и выхода в области изображений будет , где передаточную функцию дискретной разомкнутой системы можно определить по выражению [6]

. (1.18)

Отметим, что Z–преобразование применяется к решетчатым функциям. Однако каждой решетчатой функции соответствует непрерывная , а ей некоторое изображение . Поэтому будем понимать как символичную запись .

Алгоритм применения формулы (1.18) следующий. Если имеет высокий порядок, то представляют в виде суммы простейших (табличных) слагаемых. Далее по таблицам –преобразования находят изображения каждого слагаемого и суммируют их. В результате получают изображение . Полагая в , получают первое слагаемое в (1.18) и, полагая , – второе.

Наиболее часто используется случай фиксатора нулевого порядка (). В этом случае формула (1.18) упрощается и имеет вид

. (1.19)

В наиболее общем случае передаточная функция может быть записана в виде . При этом всегда степень полинома больше степени полинома , а характеризует порядок астатизма. В этом случае передаточная функция импульсной системы будет иметь вид

, (1.20)

причем степени полиномов и будут равны.

Для импульсной системы понятие порядка астатизма сохраняется, т.е. передаточная функция (1.20) соответствует импульсной системе с астатизмом -го порядка.

Пример 1.2. Найти передаточную функцию разомкнутой импульсной системы, если . Представим в виде суммы двух слагаемых

,

где , .

Воспользуемся табл. 1.2, тогда

, .

Таким образом,

. (1.21)

Теперь воспользуемся формулой (1.18) и найдем

.

По таблицам Z–преобразования [6] (либо таблица 1.1) находим

,

.

Таким образом, имеем

,

откуда находим при и при и подставляем их в (1.18). После преобразований приходим к выражению (1.19). Как и следовало ожидать, оба способа дали одинаковую передаточную функцию, которую можно записать и так

, (1.22)

где , , , , а коэффициенты и определены выше.

Если в приведенных выражениях положить , то получим передаточную функцию для случая, когда ФУ является фиксатором нулевого порядка.

Дата добавления: 2014-01-11