Плотность распределения. Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения F(x), которую предположим непрерывной и дифференцируемой

Пусть имеется непрерывная случайная величина Х с функцией распределения F(x), которую предположим непрерывной и дифференцируемой. Тогда:

(1) P(x ≤ X < x + ∆x)=F(x + ∆x) - F(x)

Рассмотрим предел:

(2) lim(∆x→0) F(x+∆x)-F(x)/ ∆x=F’(x)

(3) f(x)=F’(x)

Равной производный от функции распределения

Функция f(x) называется плотностью вероятностей или плотностью распределения непрерывной величины Х. Плотность распределения так же как и функция распределения есть одна из форм закона распределения. Но она существует только для непрерывных случайных величин.

Кривая, изображающая плотность распределения СВ называется кривой распределения:

f(x)

X

α 0 x x+∆x β

Вероятность попадания случайной величины на интервал альфа, бета, выраженное через плотность распределения f(x).

Вероятность попадания на бесконечно малый интервал: x, х+∆x, согласно (2) равна:

(3) P(x≤X<x+∆x)=F(x+∆x)≈F’(x)∆x=f(x) ∆x=f(x)dx

Величина f(x)dx=f(x)∆x называется элементом вероятности (∆x=dx). Значит вероятность попадания СВ х на конечный интервал αβ равна:

(4) P(α≤X<β)=∫(от α до β) f(x)dx

Выражение функции распределения F(X) через плотность f(x).

По определению F(x)=P(-∞<X<x)

Отсюда получим F(x)= ∫(от x до -∞)f(t)dt

Геометрически F(x) – площадь под кривой распределения, лежащая левее точки x.

f(x)

s

0 х х

Дата добавления: 2014-01-11