Приведение уравнения к каноническому виду. 1). Пусть уравнение (2.1) в области гиперболического типа

1). Пусть уравнение (2.1) в области гиперболического типа.

Пусть общее решение характеристического уравнения (2.3) имеет вид:

,

Эти решения называются характеристиками.

Выполним замену переменных

Уравнение (2.1) можно привести к каноническому виду

(2.6)

Другая форма канонического вида (гиперболический тип):

Замена

приводит уравнение (2.6) к виду

(2.7)

2). Пусть уравнение (2.1) в области параболического типа.

Уравнения (2.4) и (2.5) совпадают, поскольку .

Пусть общее решение характеристического уравнения имеет вид: .

Выполним замену переменных

где - произвольная функция, не зависящая от .

Уравнение (2.1) можно привести к каноническому виду

(2.8)

3). Пусть уравнение (2.1) в области эллиптического типа.

В этом случае характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных решения

Выполним замену переменных

Уравнение можно привести к каноническому виду

(2.9)

Канонические типы уравнений:

· (гиперболический тип)

· (параболический тип) ;

· (эллиптический тип) .

Пример 1. Привести уравнение к каноническому виду

.

Определим тип уравнения

Уравнение эллиптического типа

Составляем характеристическое уравнение (2.3):

,

.

Интегрируя, получим комплексное решение

Замена переменных:

Вычисляем производные по правилу дифференцирования сложной функции:

,

,

,

,

.

Подставляя в уравнение, получим канонический вид (эллиптический тип):

.

Пример 2. Определить тип уравнения и привести к каноническому виду

Определим тип уравнения

Уравнение гиперболического типа

Составляем характеристическое уравнение (2.3):

,

Характеристики: , .

Замена переменных:

Вычисляем производные:

,

,

.

Подставляя в уравнение, получим канонический вид (гиперболический тип)

.

Пример 3. Привести к каноническому виду уравнение

.

Определим тип уравнения

Уравнение параболического типа.

Составляем характеристическое уравнение (2.3):

,

Характеристика: .

Замена переменных:

Вычисляем производные:

,

,

,

,

.

Подставляя в уравнение, получим канонический вид

.

Задание 2.

Указать характеристики и привести уравнение к каноническому виду.

1. . 2. . 3.

4. . 5. . 6. .

7. . 8. . 9. .

10. . 11. . 12.

13. . 14. . 15. .

16. 17. . 18. .

19. . 20. .

Дата добавления: 2014-01-11