Сила Лоренца. Сила Ампера

Рассмотрим взаимодействие зарядов в системе координат К¢, движущейся относительно системы К со скоростью v в направлении положительных значений оси X.

В общем случае проекции сил в различных системах координат не равны между собой. Однако, между ними имеются определенные соотношения, обеспечивающие инвариантность уравнений движения, т.е. их одинаковый вид в различных системах координат

dp_x/dt = F_x, dp_y/dt = F_y, dp_z/dt = F_z (9.1)

dp_x¢/dt¢ = F_x¢, dp_y¢/dt¢ = F_y¢, dp_z¢/dt¢ = F_z¢. (9.2)

Левые части этих уравнений преобразуем с помощью формул теории относительности для импульса и преобразований Лоренца

p_y = p_y¢ p_z = p_z¢ (9.3)

Где E= m¢c² –полная энергия материальной точки, β=v/c.

Формулы приводятся к виду

F_x =dp_x/dt =(dp_x/dt¢) (dt¢/dt)= =

= F_x¢ + + (9.4)

F_y =dp_y/dt = (dp_y/dt¢) (dt¢/dt) = (9.5)

F_z =dp_z/dt = (dp_z/dt¢) (dt¢/dt) = (9.6)

Где u_x¢, u_y¢, u_z¢ - скорости точки в системе K¢; F_x¢, F_y¢, F_z¢ вошли в правые части уравнений в результате использования уравнений движения (9.2). При вычислении(9.4) принята во внимание формула

dE¢/dt¢ = F ¢ u ¢ (9.7)

выражающая закон сохранения энергии в системе координат K¢. С помощью формул сложения скоростей

(9.8)

Выражение (9.4) приведем к виду

F_x = F_x¢ + + (9.9)

Для упрощения (9.5) и (9.6) необходимо важное соотношение, которое получается из формул для преобразования скоростей. Запишем прямые и обратные преобразования, например, у-проекции скорости

Перемножая почленно левые и правые части этих равенств и сокращая полученные равенства на общий множитель u_уu_y¢ находим

(1+v u_x¢/c²)/(1-v u_x/c²)=1-β². (9.10)

Учитывая (9.10), преобразуем формулы (9.5) и (9.6)

F_y = (9.11)

F_z = (9.12)

Таким образом, с помощью формул (9.9), (9.10) и (9.12) сила в системе координат К выражена через силу в системе К¢. По принципу относительности можно написать и обратные преобразования.

Запишем формулы преобразования сил в векторной форме. Введем обозначения

Z = (F_x¢, F_y¢/Ö1-β², F_z¢/Ö1-β²) (9.13)

G =[0, - (v/c²) F_z¢/Ö1-β²), (v/c²) F_x¢/Ö1-β²)] (9.14)

Нетрудно проверить, что с помощью (9.13) и (9.14) формулы (9.9) (9.11) и (9.12) записываются в виде векторного равенства

F = Z + u × G (9.15)

Так как F – вектор, то и вся правая часть-вектор. Равенство справедливо для произвольных u. Следовательно, каждое из слагаемых в правой части является вектором. Поскольку

u × G и u –векторы, то и G тоже вектор. Таким образом, определяемые равенствами (9.13) и (9.14) величины Z и G являются векторами.

Дата добавления: 2014-01-11